The First Proven Performance Guarantees for the Non-Dominated Sorting Genetic Algorithm II (NSGA-II) on a Combinatorial Optimization Problem

要約

Non-domininated Sorting Genetic Algorithm-II (NSGA-II) は、多目的最適化問題を解決するための最も著名なアルゴリズムの 1 つです。
最近、このアルゴリズムに関して最初の数学的実行時間保証が得られましたが、それは合成ベンチマーク問題に対してのみでした。
この研究では、古典的な最適化問題である NP 完全双目的最小スパニング ツリー問題に対して、初めて証明されたパフォーマンス保証を提供します。
より具体的には、母集団サイズ $N \ge 4((n-1) w_{\max} + 1)$ の NSGA-II が、予想される数 $O(m) でパレート フロントのすべての極値点を計算することを示します。
^2 n w_{\max} \log(n w_{\max}))$ 反復。$n$ は頂点の数、$m$ はエッジの数、$w_{\max}$ は
問題のあるインスタンスの最大エッジの重み。
この結果は、経験的に観察された NSGA-II の良好なパフォーマンスを数学的手段によって裏付けています。
また、このアルゴリズムの数学的解析が合成ベンチマーク問題だけでなく、より複雑な組み合わせ最適化問題にも可能であることも示しています。
副次的な結果として、双目的最小スパニング ツリー問題に関するグローバル SEMO アルゴリズムのパフォーマンスの新しい分析も得られます。これは、以前の最良の結果を $|F|$ (極値点の数) 倍改善します。
パレート フロントの集合。$n w_{\max}$ ほどの大きさになる可能性があります。
この改善の主な理由は、前の証明で想定されていたように、両方の多目的進化アルゴリズムが異なる極値点を順番ではなく並行して見つけるという観察です。

要約(オリジナル)

The Non-dominated Sorting Genetic Algorithm-II (NSGA-II) is one of the most prominent algorithms to solve multi-objective optimization problems. Recently, the first mathematical runtime guarantees have been obtained for this algorithm, however only for synthetic benchmark problems. In this work, we give the first proven performance guarantees for a classic optimization problem, the NP-complete bi-objective minimum spanning tree problem. More specifically, we show that the NSGA-II with population size $N \ge 4((n-1) w_{\max} + 1)$ computes all extremal points of the Pareto front in an expected number of $O(m^2 n w_{\max} \log(n w_{\max}))$ iterations, where $n$ is the number of vertices, $m$ the number of edges, and $w_{\max}$ is the maximum edge weight in the problem instance. This result confirms, via mathematical means, the good performance of the NSGA-II observed empirically. It also shows that mathematical analyses of this algorithm are not only possible for synthetic benchmark problems, but also for more complex combinatorial optimization problems. As a side result, we also obtain a new analysis of the performance of the global SEMO algorithm on the bi-objective minimum spanning tree problem, which improves the previous best result by a factor of $|F|$, the number of extremal points of the Pareto front, a set that can be as large as $n w_{\max}$. The main reason for this improvement is our observation that both multi-objective evolutionary algorithms find the different extremal points in parallel rather than sequentially, as assumed in the previous proofs.

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