Fine-Grained Complexity Analysis of Multi-Agent Path Finding on 2D Grids

要約

マルチエージェント パス検索 (MAPF) は、幅広い用途を持つマルチエージェント システムで発生する基本的な動作調整問題です。
この問題は扱いにくいため、ソルバーのスケーラビリティを向上させるための広範な研究が行われてきました。
最適なソルバーは拡張が難しい場合があるため、MAPF の何が難しいのかを理解することが大きな課題となります。
私たちは、2D グリッド上で時間最適化された MAPF の詳細な複雑性分析を通じてこの課題に取り組み、それによって 2 つのギャップを埋め、新しい扱いやすさのフロンティアを特定します。
まず、2 色の MAPF、つまりエージェントが 2 つのチームに分割され、それぞれが独自のターゲットのセットを持つ場合は、NP が難しいままであることを示します。
次に、フロー時間目標 (コストの合計とも呼ばれます) については、エージェントが個別に最適なコストを持つソリューション (個別最適ソリューションと呼ばれます) を見つけるのは依然として NP 困難であることを示します。
これらの MAPF バリアントに対する以前の最も厳しい結果は、(非グリッド) 平面グラフに対するものでした。
当社では、以前のプルーフを置き換え、強化し、統合する単一硬度構造を使用しています。
また、1 つの図で完全な視覚化を可能にする最小限のガジェットを使用しているため、平面の場合の以前の証明よりも単純であると考えられます。
最後に、フロー時間目標について、エージェントが移動できる方向の数に基づいて扱いやすさのフロンティアを確立します。つまり、3 方向に当てはまる硬度の結果を、2 方向のみの場合に個別に最適なソリューションを見つけるための効率的なアルゴリズムで補完します。
指示は許可されます。
この結果は、最適解の構造に新たな光を当て、一般的な問題に対するアルゴリズム設計の指針となる可能性があります。

要約(オリジナル)

Multi-Agent Path Finding (MAPF) is a fundamental motion coordination problem arising in multi-agent systems with a wide range of applications. The problem’s intractability has led to extensive research on improving the scalability of solvers for it. Since optimal solvers can struggle to scale, a major challenge that arises is understanding what makes MAPF hard. We tackle this challenge through a fine-grained complexity analysis of time-optimal MAPF on 2D grids, thereby closing two gaps and identifying a new tractability frontier. First, we show that 2-colored MAPF, i.e., where the agents are divided into two teams, each with its own set of targets, remains NP-hard. Second, for the flowtime objective (also called sum-of-costs), we show that it remains NP-hard to find a solution in which agents have an individually optimal cost, which we call an individually optimal solution. The previously tightest results for these MAPF variants are for (non-grid) planar graphs. We use a single hardness construction that replaces, strengthens, and unifies previous proofs. We believe that it is also simpler than previous proofs for the planar case as it employs minimal gadgets that enable its full visualization in one figure. Finally, for the flowtime objective, we establish a tractability frontier based on the number of directions agents can move in. Namely, we complement our hardness result, which holds for three directions, with an efficient algorithm for finding an individually optimal solution if only two directions are allowed. This result sheds new light on the structure of optimal solutions, which may help guide algorithm design for the general problem.

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