Linear Query Approximation Algorithms for Non-monotone Submodular Maximization under Knapsack Constraint

要約

この研究では、ナップザック制約の対象となるサイズ $n$ の基底セット、$\mathsf{DLA}$ および $\mathsf に対する非単調サブモジュラー最大化のための、線形クエリ複雑度を備えた 2 つの定数因数近似アルゴリズムを初めて導入します。
{RLA}$。
$\mathsf{DLA}$ は $6+\epsilon$ の近似係数を提供する決定論的アルゴリズムですが、$\mathsf{RLA}$ は $4+\epsilon$ の近似係数を持つランダム化アルゴリズムです。
どちらも $O(n \log(1/\epsilon)/\epsilon)$ のクエリ複雑さで実行されます。
線形クエリで一定の近似比を取得するための重要なアイデアは、(1) 地面セットを 2 つの適切なサブセットに分割し、線形クエリでこれらのサブセットに対して最適に近い解を見つけること、および (2) 貪欲なしきい値とプロパティを組み合わせることにあります。
2 つの素なセットまたはランダム選択プロセスを使用して、ソリューションの品質を向上させます。
理論的分析に加えて、収益の最大化、画像の要約、および最大加重カットの 3 つのアプリケーションを使用して、提案されたソリューションを評価しました。これにより、私たちのアルゴリズムが最先端のアルゴリズムとの比較結果を返すだけでなく、大幅な要求も必要になることがわかりました。
クエリが少なくなります。

要約(オリジナル)

This work, for the first time, introduces two constant factor approximation algorithms with linear query complexity for non-monotone submodular maximization over a ground set of size $n$ subject to a knapsack constraint, $\mathsf{DLA}$ and $\mathsf{RLA}$. $\mathsf{DLA}$ is a deterministic algorithm that provides an approximation factor of $6+\epsilon$ while $\mathsf{RLA}$ is a randomized algorithm with an approximation factor of $4+\epsilon$. Both run in $O(n \log(1/\epsilon)/\epsilon)$ query complexity. The key idea to obtain a constant approximation ratio with linear query lies in: (1) dividing the ground set into two appropriate subsets to find the near-optimal solution over these subsets with linear queries, and (2) combining a threshold greedy with properties of two disjoint sets or a random selection process to improve solution quality. In addition to the theoretical analysis, we have evaluated our proposed solutions with three applications: Revenue Maximization, Image Summarization, and Maximum Weighted Cut, showing that our algorithms not only return comparative results to state-of-the-art algorithms but also require significantly fewer queries.

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