Deep Learning Methods for Partial Differential Equations and Related Parameter Identification Problems

要約

近年、ディープ ラーニングの概念を数学で深く理解し、それをより堅牢にする方法を模索するディープ ラーニング用の数学と、ディープ ラーニング アルゴリズムを使用して問題を解決する数学用のディープ ラーニングの成長が見られます。
数学の問題。
後者は、深層学習が科学計算の問題に適用される科学機械学習の分野を普及させました。
具体的には、特定のクラスの偏微分方程式 (PDE) を解くために、ますます多くのニューラル ネットワーク アーキテクチャが開発されています。
このような方法は、偏微分方程式に固有の特性を利用するため、標準のフィードフォワード ニューラル ネットワーク、リカレント ニューラル ネットワーク、または畳み込みニューラル ネットワークよりも適切に偏微分方程式を解決します。
これは、パラメトリック偏微分方程式が科学や工学で生じるほとんどの自然プロセスや物理プロセスをモデル化するために広く使用されている数学モデリングの分野に大きな影響を与えました。
この研究では、そのような方法と、パラメトリック研究および関連する逆問題を解決するためのその拡張をレビューします。
私たちは同様に、いくつかの産業用途におけるそれらの関連性を示します。

要約(オリジナル)

Recent years have witnessed a growth in mathematics for deep learning–which seeks a deeper understanding of the concepts of deep learning with mathematics and explores how to make it more robust–and deep learning for mathematics, where deep learning algorithms are used to solve problems in mathematics. The latter has popularised the field of scientific machine learning where deep learning is applied to problems in scientific computing. Specifically, more and more neural network architectures have been developed to solve specific classes of partial differential equations (PDEs). Such methods exploit properties that are inherent to PDEs and thus solve the PDEs better than standard feed-forward neural networks, recurrent neural networks, or convolutional neural networks. This has had a great impact in the area of mathematical modeling where parametric PDEs are widely used to model most natural and physical processes arising in science and engineering. In this work, we review such methods as well as their extensions for parametric studies and for solving the related inverse problems. We equally proceed to show their relevance in some industrial applications.

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