Fourier Analysis Meets Runtime Analysis: Precise Runtimes on Plateaus

要約

タイトル：
フーリエ解析がランタイム解析と出会う：プラトー上の正確なランタイム

要約：
– 離散フーリエ解析に基づく新しい方法を提案することで、進化アルゴリズムがプラトー上で費やす時間を分析する。
– Garnier、Kallel、およびSchoenauer（1999）による針問題における$(1+1)$進化アルゴリズムの期待ランタイムの古典的な推定の簡潔な証明を与える。
– それに加えて、LeadingOnesの成形に従って順次最適化する必要がある$n/\ell$個の有効サイズ$2^\ell-1$プラトーから構成される新しいベンチマークで$(1+1)$進化アルゴリズムのランタイムを分析する。
– 新しい方法を使用して、静的および適応的突然変異率について正確な期待ランタイムを決定する。また、漸近的に最適な静的および適応的突然変異率を決定する。
– $\ell=n$の場合、最適な静的突然変異率はおおよそ$1.59/n$である。最初の$k$個の適応従属性ビットが見つかった場合、最適な適応的突然変異率は漸近的に$1/(k+1)$である。
– これらの結果は、単一インスタンス問題であるLeadingOnesに対してのみ証明されているが、より広範囲の問題にも適用可能である。
– また、フーリエ解析アプローチが他のプラトー問題にも適用できる可能性がある。

要約(オリジナル)

We propose a new method based on discrete Fourier analysis to analyze the time evolutionary algorithms spend on plateaus. This immediately gives a concise proof of the classic estimate of the expected runtime of the $(1+1)$ evolutionary algorithm on the Needle problem due to Garnier, Kallel, and Schoenauer (1999). We also use this method to analyze the runtime of the $(1+1)$ evolutionary algorithm on a new benchmark consisting of $n/\ell$ plateaus of effective size $2^\ell-1$ which have to be optimized sequentially in a LeadingOnes fashion. Using our new method, we determine the precise expected runtime both for static and fitness-dependent mutation rates. We also determine the asymptotically optimal static and fitness-dependent mutation rates. For $\ell = o(n)$, the optimal static mutation rate is approximately $1.59/n$. The optimal fitness dependent mutation rate, when the first $k$ fitness-relevant bits have been found, is asymptotically $1/(k+1)$. These results, so far only proven for the single-instance problem LeadingOnes, thus hold for a much broader class of problems. We expect similar extensions to be true for other important results on LeadingOnes. We are also optimistic that our Fourier analysis approach can be applied to other plateau problems as well.

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