Space reduction techniques for the $3$-wise Kemeny problem

要約

タイトル：3-wise Kemeny問題のスペース削減技術

要約：

– Kemenyルールは、コンピューターソーシャルチョイスやバイオロジーなど、さまざまな重要なアプリケーションで使用される最も研究された有名な投票方法の1つです。
– 最近、Gilbertらによる集合的なアプローチにより、Kemenyルールが一般化されました。
– 本論文では、3-wise Kendall-tau距離によって誘導される3-wise Kemeny投票方式が、古典的なKemenyルールと比較して興味深い利点を持っていることが示されています。
– 3-wise Kemeny問題は、投票プロファイルの3-wiseコンセンサスランキングの集合を計算することからなります。
– 本論文では、一般的なMajor Order Theoremsのいくつかの一般化が確立され、相対順序を多項式時間で効率的に決定することによって実質的な検索スペースの削減が実現されました。
– 本論文の定理は、選挙においてある代替案が別の代替案に対して十分強い優越関係を持つ場合、相対的な順序が予想通りでなければならないという非自明な性質を正確に定量化しています。
– また、Betzlerらによる古典的なKemenyルールの3/4多数決ルールは、3-wise Kemeny方式に関しては、5つ以上の代替案を持つ選挙に対してのみ有効であることが示されています。
– さらに、3-wise Kemenyルールが古典的なKemenyルールよりも操作に対してより抵抗力があることを示す例も提供されています。

要約(オリジナル)

Kemeny’s rule is one of the most studied and well-known voting schemes with various important applications in computational social choice and biology. Recently, Kemeny’s rule was generalized via a set-wise approach by Gilbert et. al. Following this paradigm, we have shown in \cite{Phung-Hamel-2023} that the $3$-wise Kemeny voting scheme induced by the $3$-wise Kendall-tau distance presents interesting advantages in comparison with the classical Kemeny rule. While the $3$-wise Kemeny problem, which consists of computing the set of $3$-wise consensus rankings of a voting profile, is NP-hard, we establish in this paper several generalizations of the Major Order Theorems, as obtained in \cite{Milosz-Hamel-2020} for the classical Kemeny rule, for the $3$-wise Kemeny voting scheme to achieve a substantial search space reduction by efficiently determining in polynomial time the relative orders of pairs of alternatives. Essentially, our theorems quantify precisely the non-trivial property that if the preference for an alternative over another one in an election is strong enough, not only in the head-to-head competition but even when taking into consideration one or two more alternatives, then the relative order of these two alternatives in every $3$-wise consensus ranking must be as expected. Moreover, we show that the well-known $3/4$-majority rule of Betzler et al. for the classical Kemeny rule is only valid for elections with no more than $5$ alternatives with respect to the $3$-wise Kemeny scheme. Examples are also provided to show that the $3$-wise Kemeny rule is more resistant to manipulation than the classical one.

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