An Algorithm for Computing with Brauer’s Group Equivariant Neural Network Layers

要約

【タイトル】
ブラウアー群の巾等変換ニューラルネットワーク層を用いた計算のアルゴリズム

【要約】
・線形ニューラルネットワーク層は、$\mathbb{R}^{n}$ のテンソルパワー空間間での線形変換として表される。
・そのような層を、直交群$O(n)$、特殊直交群$SO(n)$、交代群$Sp(n)$ に対して同変であるという特性に基づき特徴づけた。
・本稿では、それぞれの群について重み行列を使ったベクトルの乗算をするためのアルゴリズムを紹介し、Kronecker積行列を用いて計算コストを削減した。
・この手法は、置換群$S_n$にも拡張できる。この場合でも、同様のアルゴリズムが得られる。

要約(オリジナル)

The learnable, linear neural network layers between tensor power spaces of $\mathbb{R}^{n}$ that are equivariant to the orthogonal group, $O(n)$, the special orthogonal group, $SO(n)$, and the symplectic group, $Sp(n)$, were characterised in arXiv:2212.08630. We present an algorithm for multiplying a vector by any weight matrix for each of these groups, using category theoretic constructions to implement the procedure. We achieve a significant reduction in computational cost compared with a naive implementation by making use of Kronecker product matrices to perform the multiplication. We show that our approach extends to the symmetric group, $S_n$, recovering the algorithm of arXiv:2303.06208 in the process.

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