On the lifting and reconstruction of dynamical systems with multiple attractors

要約

タイトル：多くのアトラクタを持つ力学系の持ち上げと再構築について

要約：
– Koopman演算子は、不変部分空間での観測量の進化に注目することにより、非線形ダイナミクスに対して線形な視点を提供する。
– Koopman演算子を用いて興味深い観測量を線形に再構築するには、通常、Koopman固有関数から線形に再構成する。
– しかし、過去数年間にわたって、Koopman演算子の応用可能性についての誤解が存在しています。
– 本研究では、多くのアトラクタを持つ力学系のKoopman演算子の持ち上げの機構について説明する。
– ダフィング振動子の例を考えると、吸引領域の間に固有の対称性を利用することで、Koopman観測可能空間の3つの自由度で線形再構築が十分で、系をグローバルに線形化できることが示される。

要約(オリジナル)

The Koopman operator provides a linear perspective on non-linear dynamics by focusing on the evolution of observables in an invariant subspace. Observables of interest are typically linearly reconstructed from the Koopman eigenfunctions. Despite the broad use of Koopman operators over the past few years, there exist some misconceptions about the applicability of Koopman operators to dynamical systems with more than one fixed point. In this work, an explanation is provided for the mechanism of lifting for the Koopman operator of a dynamical system with multiple attractors. Considering the example of the Duffing oscillator, we show that by exploiting the inherent symmetry between the basins of attraction, a linear reconstruction with three degrees of freedom in the Koopman observable space is sufficient to globally linearize the system.

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