Applications of No-Collision Transportation Maps in Manifold Learning

要約

【タイトル】
多様体学習における無衝突輸送マップの応用

【要約】
・本論文では、イメージデータの多様体学習において、[Nurbekyan et. al., 2020]で導入された無衝突輸送マップの応用を調査する。
・最近は、運動や変形のような現象を表すデータに対して、輸送ベースの距離や特徴を適用することが増えている。固定された位置での強度の比較は、データの構造を明らかにしないことがある。
・[Nurbekyan et. al., 2020]で開発された無衝突マップと距離は、最適輸送(OT)マップと同様の幾何学的特徴に敏感であるが、最適化がないため計算がはるかに安価である。
・本研究では、無衝突距離が1つの確率測度の平行移動(拡大縮小)と平行移動(拡大縮小)ベクトルのユークリッド距離との間に等距性を提供することを証明する。
・さらに、本研究では無衝突輸送マップ、OTおよび線形OTマップは、一般的に回転に対して等距性を提供しないことを証明する。
・数値実験は、理論的な研究結果を裏付け、無衝突距離がOTおよびユークリッドベースの方法に比べて、複数の多様体学習タスクで類似または優れた性能を、わずかな計算コストで達成することを示している。

要約(オリジナル)

In this work, we investigate applications of no-collision transportation maps introduced in [Nurbekyan et. al., 2020] in manifold learning for image data. Recently, there has been a surge in applying transportation-based distances and features for data representing motion-like or deformation-like phenomena. Indeed, comparing intensities at fixed locations often does not reveal the data structure. No-collision maps and distances developed in [Nurbekyan et. al., 2020] are sensitive to geometric features similar to optimal transportation (OT) maps but much cheaper to compute due to the absence of optimization. In this work, we prove that no-collision distances provide an isometry between translations (respectively dilations) of a single probability measure and the translation (respectively dilation) vectors equipped with a Euclidean distance. Furthermore, we prove that no-collision transportation maps, as well as OT and linearized OT maps, do not in general provide an isometry for rotations. The numerical experiments confirm our theoretical findings and show that no-collision distances achieve similar or better performance on several manifold learning tasks compared to other OT and Euclidean-based methods at a fraction of a computational cost.

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