A Deep Learning algorithm to accelerate Algebraic Multigrid methods in Finite Element solvers of 3D elliptic PDEs

要約

タイトル：3D楕円PDEの有限要素ソルバーの代数多重格子法を加速させる深層学習アルゴリズム

要約：
– 代数多重格子法（AMG）は、線形方程式の最も効率的なソルバーの1つであり、Partial Differential Equations（PDE）の離散化から生じる問題の解決に広く使用されています。
– AMG方法の最も深刻な限界は、調整が必要なパラメータに依存していることです。
– 特に、強いしきい値パラメータは最も関連性があり、AMG方法で必要なより粗いグリッドを構築する基盤となります。
– この研究では、AMG法を有限要素ソルバーとして使用する際の計算コストを最小限に抑える新しいディープラーニングアルゴリズムを紹介しています。
– プロポーズされた人工ニューラルネットワーク（ANN）は、線形システムの疎行列を白黒画像と解釈し、プーリング演算子を利用して小さなマルチチャンネル画像に変換することで、強いしきい値パラメータの値を調整します。
– 実験的に、プーリングは大きな疎行列の処理の計算コストを成功裏に低下させ、回帰タスクに必要な特徴を保持することができることを証明します。
– データセットには、異質性の高い拡散係数が3次元幾何学内で定義され、非構造化グリッドで離散化された問題や、非常に異質なヤング率を持つ線形弾性問題が含まれます。
– トレーニングされたアルゴリズムは、トレーニングデータセットには存在しない係数や幾何学を持つ問題に対しても、計算時間を最大30％削減することができます。

要約(オリジナル)

Algebraic multigrid (AMG) methods are among the most efficient solvers for linear systems of equations and they are widely used for the solution of problems stemming from the discretization of Partial Differential Equations (PDEs). The most severe limitation of AMG methods is the dependence on parameters that require to be fine-tuned. In particular, the strong threshold parameter is the most relevant since it stands at the basis of the construction of successively coarser grids needed by the AMG methods. We introduce a novel Deep Learning algorithm that minimizes the computational cost of the AMG method when used as a finite element solver. We show that our algorithm requires minimal changes to any existing code. The proposed Artificial Neural Network (ANN) tunes the value of the strong threshold parameter by interpreting the sparse matrix of the linear system as a black-and-white image and exploiting a pooling operator to transform it into a small multi-channel image. We experimentally prove that the pooling successfully reduces the computational cost of processing a large sparse matrix and preserves the features needed for the regression task at hand. We train the proposed algorithm on a large dataset containing problems with a highly heterogeneous diffusion coefficient defined in different three-dimensional geometries and discretized with unstructured grids and linear elasticity problems with a highly heterogeneous Young’s modulus. When tested on problems with coefficients or geometries not present in the training dataset, our approach reduces the computational time by up to 30%.

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