Theoretical Analyses of Multiobjective Evolutionary Algorithms on Multimodal Objectives

要約

タイトル：多峰性目的関数における多目的進化アルゴリズムの理論的分析
要約：

– 多目的進化アルゴリズム（MOEAs）の理論的理解は実践には遥かに遅れている。
– 現在の理論ワークは、単峰性目的から構成された簡単な問題に対するものがほとんどである。
– 多峰性多目的問題を進化アルゴリズムで解決するプロセスにより深い理解を目的とし、2つの目的が古典的なジャンプ関数ベンチマークと同等のOJZJ問題を提案する。
– ランタイムに関係なく、確率1でSEMOは完全なパレートフロントを計算しないことを証明する。
– 一方、すべての問題サイズnとジャンプサイズk（4≦k≦n/2−1）において、グローバルSEMO（GSEMO）は期待されるイテレーション数のΘ（（n-2k）n^k）でパレートフロントをカバーすることを示す。
– さらに、k=o（n）の場合、$3/2e n^{k+1} \pm o (n^{k+1})$というより厳密なバウンドを示し、低次の項を除いてしっかりしていると考えられるMOEAの最初のランタイムバウンドかもしれない。
– GSEMOを、単目的多峰性問題で優位性を示した2つのアプローチと組み合わせることもできる。
– ヘビーテールの変異演算子を使用する際には、期待されるランタイムが少なくとも$ k ^ {\ Omega(k)} $の因数で改善される。
– RajabiとWitt（2022）の最近の停滞検出戦略をGSEMOに適応すると、期待ランタイムも少なくとも$ k ^ {\ Omega(k)} $の因数で改善され、$ k $の小さな多項式因子でヘビーテールのGSEMOを上回る。
– 実験分析により、これらの漸近的な差が小さな問題サイズでも見られることが示されており、ジャンプサイズ4と問題サイズ10〜50の間でヘビーテール変異からの$ 5 $倍のスピードアップと停滞検出からの$ 10 $倍のスピードアップが観察されている。
– 全体的に、単一目的進化アルゴリズムが局所最適解に対処するために最近開発されたアイデアが多目的最適化にも有効に適用できることが示されている。

要約(オリジナル)

The theoretical understanding of MOEAs is lagging far behind their success in practice. In particular, previous theory work considers mostly easy problems that are composed of unimodal objectives. As a first step towards a deeper understanding of how evolutionary algorithms solve multimodal multiobjective problems, we propose the OJZJ problem, a bi-objective problem composed of two objectives isomorphic to the classic jump function benchmark. We prove that SEMO with probability one does not compute the full Pareto front, regardless of the runtime. In contrast, for all problem sizes $n$ and all jump sizes ${k \in [4..\frac n2 – 1]}$, the global SEMO (GSEMO) covers the Pareto front in an expected number of $\Theta((n-2k)n^{k})$ iterations. For $k = o(n)$, we also show the tighter bound $\frac 32 e n^{k+1} \pm o(n^{k+1})$, which might be the first runtime bound for an MOEA that is tight apart from lower-order terms. We also combine the GSEMO with two approaches that showed advantages in single-objective multimodal problems. When using the GSEMO with a heavy-tailed mutation operator, the expected runtime improves by a factor of at least $k^{\Omega(k)}$. When adapting the recent stagnation-detection strategy of Rajabi and Witt (2022) to the GSEMO, the expected runtime also improves by a factor of at least $k^{\Omega(k)}$ and surpasses the heavy-tailed GSEMO by a small polynomial factor in $k$. Via an experimental analysis, we show that these asymptotic differences are visible already for small problem sizes: A factor-$5$ speed-up from heavy-tailed mutation and a factor-$10$ speed-up from stagnation detection can be observed already for jump size~$4$ and problem sizes between $10$ and $50$. Overall, our results show that the ideas recently developed to aid single-objective evolutionary algorithms to cope with local optima can be effectively employed also in multiobjective optimization.

arxiv情報

提供元, 利用サービス

arxiv.jp, OpenAI