Physics-Informed Neural Operator for Learning Partial Differential Equations

要約

タイトル：物理学に基づくニューラルオペレーターによる偏微分方程式の学習

要約：
– 物理学に基づくニューラルオペレーター (PINO) を提案する。
– PINO は、利用可能なデータや物理学的制約を使用して、パラメータ化された偏微分方程式 (PDE) のソリューションオペレーターを学習する。
– PINO は、データ駆動型と物理学ベースの方法の限界を克服するハイブリッドアプローチであり、データが限られた場合や質が悪い場合に失敗するデータ駆動型方法と、難しいPDE制約の最適化に失敗する物理学ベース方法を克服することができる。
– PINO は、異なる解像度のデータとPDE制約を組み合わせることができ、高い分解能のテストインスタンスでも精度が劣化しない。
– PINO には、ニューラルオペレーターフレームワークによる離散化不変性の特性があり、再トレーニングなしで異なる解像度で評価できる。
– PINO は、データが利用できない純物理学的設定でも成功し、他のアプローチでは最適化の課題により失敗する。
– PINO は、多数のインスタンスでPDE制約を最適化することにより、ソリューションオペレーターを学習し、他のアプローチと異なり、単一のPDEインスタンスでPDE制約を最適化するPHysics-Informed Neural Network (PINN)が失敗する状況でも成功する。
– PINOは、高速な確率勾配降下法を計算するためにフーリエニューラルオペレーター (FNO) アーキテクチャを組み込んでいる。

要約(オリジナル)

In this paper, we propose physics-informed neural operators (PINO) that uses available data and/or physics constraints to learn the solution operator of a family of parametric Partial Differential Equation (PDE). This hybrid approach allows PINO to overcome the limitations of purely data-driven and physics-based methods. For instance, data-driven methods fail to learn when data is of limited quantity and/or quality, and physics-based approaches fail to optimize on challenging PDE constraints. By combining both data and PDE constraints, PINO overcomes all these challenges. Additionally, a unique property that PINO enjoys over other hybrid learning methods is its ability to incorporate data and PDE constraints at different resolutions. This allows us to combine coarse-resolution data, which is inexpensive to obtain from numerical solvers, with higher resolution PDE constraints, and the resulting PINO has no degradation in accuracy even on high-resolution test instances. This discretization-invariance property in PINO is due to neural-operator framework which learns mappings between function spaces and allows evaluation at different resolutions without the need for re-training. Moreover, PINO succeeds in the purely physics setting, where no data is available, while other approaches such as the Physics-Informed Neural Network (PINN) fail due to optimization challenges, e.g. in multi-scale dynamic systems such as Kolmogorov flows. This is because PINO learns the solution operator by optimizing PDE constraints on multiple instances while PINN optimizes PDE constraints of a single PDE instance. Further, in PINO, we incorporate the Fourier neural operator (FNO) architecture which achieves orders-of-magnitude speedup over numerical solvers and also allows us to compute explicit gradients on function spaces efficiently.

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