A Robust Test for Elliptical Symmetry

要約

タイトル：楕円対称のためのロバストテスト
要約：
– 多くの信号処理や統計アプリケーションは、特定のデータ分布モデルに強く依存している。
– ガウス分布は最も一般的な選択肢であるが、重尾分布から来たデータや異常値に汚染されたデータに対して適切ではない。
– このような問題に対処するために、ロバスト統計学が必要とされる。
– ロバストモデルと推定器は通常、楕円形集団に基づいており、楕円形はロバスト統計学のすべての方法で普遍的である。
– これらのツールが特定のケースに適用可能かどうかを判断するために、楕円性仮説を検証するために適合度（GoF）テストが使用される。
– 楕円性GoFテストは通常解析が難しく、その統計的なパワーも特に強くない。
– 本研究では、真の共分散行列が不明であると仮定し、単位球上の楕円性以外のすべての代替案に一貫した堅牢なGoFテストを設計し厳密に分析する。
– 提案されたテストはTylerの推定器に基づいており、データの簡単に計算可能な統計量に基づいて定式化されている。
– 厳密な分析のために、de Finettiによって導入された交換可能なランダム変数微積分に基づく新しいフレームワークを開発する。
– 結果は、他の一般的なGoFテストと比較して、提案された技術のはるかに高い統計的パワーを示し、数値シミュレーションによって支持されている。

要約(オリジナル)

Most signal processing and statistical applications heavily rely on specific data distribution models. The Gaussian distributions, although being the most common choice, are inadequate in most real world scenarios as they fail to account for data coming from heavy-tailed populations or contaminated by outliers. Such problems call for the use of Robust Statistics. The robust models and estimators are usually based on elliptical populations, making the latter ubiquitous in all methods of robust statistics. To determine whether such tools are applicable in any specific case, goodness-of-fit (GoF) tests are used to verify the ellipticity hypothesis. Ellipticity GoF tests are usually hard to analyze and often their statistical power is not particularly strong. In this work, assuming the true covariance matrix is unknown we design and rigorously analyze a robust GoF test consistent against all alternatives to ellipticity on the unit sphere. The proposed test is based on Tyler’s estimator and is formulated in terms of easily computable statistics of the data. For its rigorous analysis, we develop a novel framework based on the exchangeable random variables calculus introduced by de Finetti. Our findings are supported by numerical simulations comparing them to other popular GoF tests and demonstrating the significantly higher statistical power of the suggested technique.

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