GRIL: A $2$-parameter Persistence Based Vectorization for Machine Learning

要約

【タイトル】 GRIL：機械学習のための2つのパラメータ持続ベースのベクトル化

【要約】

– 1パラメータの持続的同相は、データに隠れた連結成分やサイクルなどの位相的特徴の進化を研究するTopological Data Analysis（TDA）の要石です。
– これは、グラフニューラルネットワーク（GNN）などのディープラーニングモデルの表現力を強化するために適用されています。
– 持続的同相を用いた表示を豊かにするために、ここでは2つのパラメータによって誘導される持続的モジュールをバイフィルトレーション関数によって研究することを提案します。
– これらの表現を機械学習モデルに統合するために、2つのパラメータ持続モジュール用の新しいベクトル表現であるGeneralized Rank Invariant Landscape（GRIL）を紹介します。
– このベクトル表現は1-Lipschitz安定であり、基礎となるフィルトレーション関数に関して微分可能であり、位相的特徴のエンコードを増強するために簡単に機械学習モデルに統合できます。
– ベクトル表現を効率的に計算するためのアルゴリズムを提供します。
– 合成およびベンチマークグラフデータセットで方法をテストし、1パラメータおよび2パラメータ持続モジュールの以前のベクトル表現と結果を比較します。

要約(オリジナル)

$1$-parameter persistent homology, a cornerstone in Topological Data Analysis (TDA), studies the evolution of topological features such as connected components and cycles hidden in data. It has been applied to enhance the representation power of deep learning models, such as Graph Neural Networks (GNNs). To enrich the representations of topological features, here we propose to study $2$-parameter persistence modules induced by bi-filtration functions. In order to incorporate these representations into machine learning models, we introduce a novel vector representation called Generalized Rank Invariant Landscape \textsc{Gril} for $2$-parameter persistence modules. We show that this vector representation is $1$-Lipschitz stable and differentiable with respect to underlying filtration functions and can be easily integrated into machine learning models to augment encoding topological features. We present an algorithm to compute the vector representation efficiently. We also test our methods on synthetic and benchmark graph datasets, and compare the results with previous vector representations of $1$-parameter and $2$-parameter persistence modules.

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