Learning Generative Models of the Geometry and Topology of Tree-like 3D Objects

要約

タイトル：3D樹状物体の幾何学およびトポロジの生成モデルの学習

要約：

– 複雑な幾何学的およびトポロジックな変化を示す神経細胞や植物の木などの詳細な3D生物学的オブジェクトをどのように分析できるか。
– 本論文では、このような樹状の3Dオブジェクトの形状を表現し、比較し、測定するための新しい数学的フレームワークを開発した。
– 各部分木には、いくつかの側枝が付いた主要な枝があり、これらの構造をオブジェクト間で一致させる必要がある。
– Euclidean曲線のために初めて開発されたSquare-Root Velocity Function（SRVF）を樹状の3Dオブジェクトに拡張する新しい表現を提案し、一方の木状オブジェクトを別の木状オブジェクトに変形するために必要な曲げ、伸長、および枝滑りを量化する新しいメトリックを定義する。
– 提案された表現およびメトリックは、QEDおよびTEDメトリックによって引き起こされる縮小を完全に回避し、枝の完全な弾性（つまり、曲げと伸長）およびトポロジ的変化（つまり、枝の死滅/誕生およびスライド）を捉える。
– 我々は、神経細胞や植物の木などの生物オブジェクトを比較し、マッチングし、地理的変形を計算するために、このフレームワークの実用性を示した。
– このフレームワークは、以下の形状分析タスクにも適用される：（i）樹状の3Dオブジェクトの対称性分析および対称化、（ii）樹状の3Dオブジェクトの集団の要約統計量（平均および変動モード）の計算、（iii）このような集団にパラメトリック確率分布を適合させること、そして（iv）最終的には、推定された確率分布からのランダムサンプリングによる新しい樹状の3Dオブジェクトの生成。

要約(オリジナル)

How can one analyze detailed 3D biological objects, such as neurons and botanical trees, that exhibit complex geometrical and topological variation? In this paper, we develop a novel mathematical framework for representing, comparing, and computing geodesic deformations between the shapes of such tree-like 3D objects. A hierarchical organization of subtrees characterizes these objects — each subtree has the main branch with some side branches attached — and one needs to match these structures across objects for meaningful comparisons. We propose a novel representation that extends the Square-Root Velocity Function (SRVF), initially developed for Euclidean curves, to tree-shaped 3D objects. We then define a new metric that quantifies the bending, stretching, and branch sliding needed to deform one tree-shaped object into the other. Compared to the current metrics, such as the Quotient Euclidean Distance (QED) and the Tree Edit Distance (TED), the proposed representation and metric capture the full elasticity of the branches (i.e., bending and stretching) as well as the topological variations (i.e., branch death/birth and sliding). It completely avoids the shrinkage that results from the edge collapse and node split operations of the QED and TED metrics. We demonstrate the utility of this framework in comparing, matching, and computing geodesics between biological objects such as neurons and botanical trees. The framework is also applied to various shape analysis tasks: (i) symmetry analysis and symmetrization of tree-shaped 3D objects, (ii) computing summary statistics (means and modes of variations) of populations of tree-shaped 3D objects, (iii) fitting parametric probability distributions to such populations, and (iv) finally synthesizing novel tree-shaped 3D objects through random sampling from estimated probability distributions.

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