HomPINNs: homotopy physics-informed neural networks for solving the inverse problems of nonlinear differential equations with multiple solutions

要約

タイトル: HomPINNs：多重解を持つ非線形微分方程式の逆問題を解決するためのホモトピー物理学根拠のニューラルネットワーク

要約:
– 非一意性、対称性、分岐から生じる複雑な振る舞いのため、多重解を持つ非線形微分方程式(DEs)の逆問題を解決することは困難である。
– この問題に対処するために、HomPINNsという新しいフレームワークを提案する。 HomPINNsは、ホモトピー連続とニューラルネットワーク(NNs)を組み合わせて逆問題を解決する。
– 提案されたフレームワークは、NNを使用して既知の観測値を同時に近似し、DEsの制約条件に適合させることから始まる。ホモトピー連続方法を利用し、近似は観測値をトレースして多重解を特定し、逆問題を解決する。
– 実験は、1次元DEsの性能をテストし、2次元Gray-Scottシミュレーションを解決するために適用することを含む。提案手法の結果は、多重解と未知パラメータを持つDEsを解決するための有効な解決策を提供し、拡張性と適応性に優れていることを示している。
– さらに、科学的計算における複雑なシステムのモデリングや、物理学、化学、生物学などの逆問題の解決など、様々なアプリケーションに大きな潜在力がある。

要約(オリジナル)

Due to the complex behavior arising from non-uniqueness, symmetry, and bifurcations in the solution space, solving inverse problems of nonlinear differential equations (DEs) with multiple solutions is a challenging task. To address this issue, we propose homotopy physics-informed neural networks (HomPINNs), a novel framework that leverages homotopy continuation and neural networks (NNs) to solve inverse problems. The proposed framework begins with the use of a NN to simultaneously approximate known observations and conform to the constraints of DEs. By utilizing the homotopy continuation method, the approximation traces the observations to identify multiple solutions and solve the inverse problem. The experiments involve testing the performance of the proposed method on one-dimensional DEs and applying it to solve a two-dimensional Gray-Scott simulation. Our findings demonstrate that the proposed method is scalable and adaptable, providing an effective solution for solving DEs with multiple solutions and unknown parameters. Moreover, it has significant potential for various applications in scientific computing, such as modeling complex systems and solving inverse problems in physics, chemistry, biology, etc.

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