Solving differential equations using physics informed deep learning: a hand-on tutorial with benchmark tests

要約

タイトル：物理学に基づいたディープラーニングを用いた微分方程式の解決：ベンチマークテスト付きの実践的なチュートリアル

要約：

– 微分方程式を解決するために、物理学的知識を取り入れたディープラーニングとニューラルネットワークを使用する方法を再考する。
– このアプローチにおいては、学習プロセスにおいて最適化手順中に、損失関数に専用項を追加することで、物理学に基づいたニューラルネットワーク（PINNs）を使用する。
– 一連の学術的な常微分方程式を対象に、このアプローチの標準的な積分法に対する利点と欠点を明らかにし、学習プロセスに最小限のデータを使用する可能性に焦点を当てる。
– 物理学の法則をペナルティ項を利用して強制することで微分方程式の解決に物理学に基づいたニューラルネットワークを利用する原理を検討する。
– 単純な方程式のモデルをチュートリアルで説明し、常微分方程式の解決のための方法を実践する。
– ベンチマークテストによると、非線形性が弱い場合、非常に少量のトレーニングデータでも解を予測するのに十分であることが示された。ただし、非線形性が強い場合、トレーニングデータの事前知識が一部または全体の時間積分間隔に必要となる。

要約(オリジナル)

We revisit the original approach of using deep learning and neural networks to solve differential equations by incorporating the knowledge of the equation. This is done by adding a dedicated term to the loss function during the optimization procedure in the training process. The so-called physics-informed neural networks (PINNs) are tested on a variety of academic ordinary differential equations in order to highlight the benefits and drawbacks of this approach with respect to standard integration methods. We focus on the possibility to use the least possible amount of data into the training process. The principles of PINNs for solving differential equations by enforcing physical laws via penalizing terms are reviewed. A tutorial on a simple equation model illustrates how to put into practice the method for ordinary differential equations. Benchmark tests show that a very small amount of training data is sufficient to predict the solution when the non linearity of the problem is weak. However, this is not the case in strongly non linear problems where a priori knowledge of training data over some partial or the whole time integration interval is necessary.

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