Multilevel CNNs for Parametric PDEs

要約

タイトル： Parametric PDEsのためのMultilevel CNNs

要約：
– 部分微分方程式（PDE）のマルチレベルソルバのコンセプトに、ニューラルネットワークに基づくディープラーニングを組み合わせ、高次元パラメトリックPDEの効率的な数値解法のための新しい方法を提案。
– 理論的な分析により、提案されたアーキテクチャは、最も細かいメッシュの分解能に対数依存する重みの数にのみ依存して、多重格子Vサイクルを任意の精度で近似することができることが示される。
– 結果として、（確率的な）パラメータ次元に依存しないニューラルネットワークによるパラメトリックPDEの解の近似界が導かれる。
– 提案手法のパフォーマンスは、不確実性量子化における一般的なベンチマーク問題である高次元パラメトリック線形楕円PDEで示される。従来のディープラーニングベースのソルバーに比べて、かなりの改善が見られた。
– 特に難しい例として、100個のパラメータ寸法の非アフィンガウス場をもつランダム導電性とランダムクッキープロブレムが検討される。
– 我々の手法のマルチレベル構造により、より細かいレベルでのトレーニングサンプルの量を減らすことができるため、トレーニングデータの生成時間とトレーニング時間を大幅に短縮できる。

要約(オリジナル)

We combine concepts from multilevel solvers for partial differential equations (PDEs) with neural network based deep learning and propose a new methodology for the efficient numerical solution of high-dimensional parametric PDEs. An in-depth theoretical analysis shows that the proposed architecture is able to approximate multigrid V-cycles to arbitrary precision with the number of weights only depending logarithmically on the resolution of the finest mesh. As a consequence, approximation bounds for the solution of parametric PDEs by neural networks that are independent on the (stochastic) parameter dimension can be derived. The performance of the proposed method is illustrated on high-dimensional parametric linear elliptic PDEs that are common benchmark problems in uncertainty quantification. We find substantial improvements over state-of-the-art deep learning-based solvers. As particularly challenging examples, random conductivity with high-dimensional non-affine Gaussian fields in 100 parameter dimensions and a random cookie problem are examined. Due to the multilevel structure of our method, the amount of training samples can be reduced on finer levels, hence significantly lowering the generation time for training data and the training time of our method.

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