Machine Learning Discovery of Optimal Quadrature Rules for Isogeometric Analysis

要約

タイトル：等角解析の最適積分則の機械学習による発見

要約：

– 等角解析（Isogeometric Analysis：IGA）の剛性行列と質量行列の構築に最適な積分則を機械学習技術を用いて見つける提案を行う。
– 初めに、ユニフォームおよびノンユニフォームなノット列によって生成された任意次元の1Dスプライン空間を考慮する。
– 極値点の探索は最適化問題として提起され、勾配降下を基盤とする機械学習戦略によって解決される。
– しかしながら、最適化空間が非凸であるため、検索の成功は極値点の数とパラメーターの初期化に強く依存する。そのため、動的プログラミング戦略を用いて、少ないノット数のスプライン空間での最適解からパラメーターを初期化する。
– この方法により、IGA離散化において50個のユニフォーム要素および8次の多項式次数を用いたときのスプライン空間において、最適な積分則を見つけることができる。
– 非ユニフォーム区分に対しても、テストケースの合理的な数で最適化規則を見つけることができる。
– また、ラプラス演算子の固有値問題と自由曲形ビームの固有振動解析の2つの実用的なケーススタディで、生成された最適化ルールを評価する。
– 特に、提案手法は、1D、2D、および3Dスペースにおいて、従来のガウス積分に比べて最大で44％、68％、および82％の節約効果があることが示された。

要約(オリジナル)

We propose the use of machine learning techniques to find optimal quadrature rules for the construction of stiffness and mass matrices in isogeometric analysis (IGA). We initially consider 1D spline spaces of arbitrary degree spanned over uniform and non-uniform knot sequences, and then the generated optimal rules are used for integration over higher-dimensional spaces using tensor product sense. The quadrature rule search is posed as an optimization problem and solved by a machine learning strategy based on gradient-descent. However, since the optimization space is highly non-convex, the success of the search strongly depends on the number of quadrature points and the parameter initialization. Thus, we use a dynamic programming strategy that initializes the parameters from the optimal solution over the spline space with a lower number of knots. With this method, we found optimal quadrature rules for spline spaces when using IGA discretizations with up to 50 uniform elements and polynomial degrees up to 8, showing the generality of the approach in this scenario. For non-uniform partitions, the method also finds an optimal rule in a reasonable number of test cases. We also assess the generated optimal rules in two practical case studies, namely, the eigenvalue problem of the Laplace operator and the eigenfrequency analysis of freeform curved beams, where the latter problem shows the applicability of the method to curved geometries. In particular, the proposed method results in savings with respect to traditional Gaussian integration of up to 44% in 1D, 68% in 2D, and 82% in 3D spaces.

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