The Schrödinger Bridge between Gaussian Measures has a Closed Form

要約

タイトル：ガウス測度間のシュレーディンガーブリッジに閉じた形式がある
要約：
– 静的最適輸送（OT）問題は、ガウス分布から別の分布に変換する最適なマップまたはカップリングを回復することを目的として研究され、幅広いタスクに適用されています。
– 本論文では、最適輸送の動的定式化であるシュレーディンガーブリッジ（SB）問題に焦点を当て、拡散ベースの生成モデルとの関連性から機械学習で最近注目されています。
– 静的設定とは対照的に、動的設定については、ガウス分布についてもあまり知られていません。
– 本論文では、ガウス測度間のSBに関する閉形式の式を提供します。
– 静的のガウスOT問題は、凸計画を研究するだけで済むのに対して、SBを解決するためのフレームワークは、リーマンジオメトリや生成モデルなど、より多くの知識が必要です。
– 特に、ガウス測度間のSBの解は、自己明示的な平均と共分散カーネルを持つガウスプロセスであり、生成モデリングや補間などの多くの下流アプリケーションに適しています。
– ユーティリティを示すために、単一細胞ゲノムデータの進化をモデリングするための新しい方法を考案し、既存のSBベースの手法と比較して、大幅に改善された数値安定性を報告しています。

要約(オリジナル)

The static optimal transport $(\mathrm{OT})$ problem between Gaussians seeks to recover an optimal map, or more generally a coupling, to morph a Gaussian into another. It has been well studied and applied to a wide variety of tasks. Here we focus on the dynamic formulation of OT, also known as the Schr\’odinger bridge (SB) problem, which has recently seen a surge of interest in machine learning due to its connections with diffusion-based generative models. In contrast to the static setting, much less is known about the dynamic setting, even for Gaussian distributions. In this paper, we provide closed-form expressions for SBs between Gaussian measures. In contrast to the static Gaussian OT problem, which can be simply reduced to studying convex programs, our framework for solving SBs requires significantly more involved tools such as Riemannian geometry and generator theory. Notably, we establish that the solutions of SBs between Gaussian measures are themselves Gaussian processes with explicit mean and covariance kernels, and thus are readily amenable for many downstream applications such as generative modeling or interpolation. To demonstrate the utility, we devise a new method for modeling the evolution of single-cell genomics data and report significantly improved numerical stability compared to existing SB-based approaches.

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