The G-invariant graph Laplacian

要約

タイトル：G不変グラフラプラシアン
要約：
– マニフォールド上にあるデータに対してグラフラプラシアンベースのアルゴリズムは、次元削減、クラスタリング、ノイズ除去などのタスクに有効であることが証明されています。
– この研究では、データ点がマニフォールド上にあるだけでなく、連続的なグループの作用によって閉じているデータセットを考慮します。
– そのようなデータセットの例として、低次元マニフォールド上に並んだボリュームがあり、それぞれのボリュームは3次元空間で回転することができます。
– G不変グラフラプラシアンを導入し、グループの作用を考慮したグラフラプラシアンを一般化します。
– 標準的なグラフラプラシアンと同様に、G不変グラフラプラシアンもデータマニフォールド上のラプラス・ベルトラミ演算子に収束することを示していますが、収束速度が大幅に改善されています。
– さらに、G不変グラフラプラシアンの固有関数は、グループ要素と特定の行列の固有ベクトルのテンソル積の形式を持つことを示し、FFTタイプのアルゴリズムを使用して効率的に計算することができます。
– SU（2）の作用によって閉じられたノイズの多いマニフォールドのデータフィルタリング問題で、構成とその利点を示します。

要約(オリジナル)

Graph Laplacian based algorithms for data lying on a manifold have been proven effective for tasks such as dimensionality reduction, clustering, and denoising. In this work, we consider data sets whose data point not only lie on a manifold, but are also closed under the action of a continuous group. An example of such data set is volumes that line on a low dimensional manifold, where each volume may be rotated in three-dimensional space. We introduce the G-invariant graph Laplacian that generalizes the graph Laplacian by accounting for the action of the group on the data set. We show that like the standard graph Laplacian, the G-invariant graph Laplacian converges to the Laplace-Beltrami operator on the data manifold, but with a significantly improved convergence rate. Furthermore, we show that the eigenfunctions of the G-invariant graph Laplacian admit the form of tensor products between the group elements and eigenvectors of certain matrices, which can be computed efficiently using FFT-type algorithms. We demonstrate our construction and its advantages on the problem of filtering data on a noisy manifold closed under the action of the special unitary group SU(2).

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