Efficient Sampling of Stochastic Differential Equations with Positive Semi-Definite Models

要約

タイトル：陽的半正定モデルに基づく確率の効率的なサンプリング
要約：
-問題：ドリフト関数と拡散行列が与えられたとき、確率微分方程式から効率的にサンプリングする方法は何ですか？
-提案された方法：提案された手法は、確率に関する最近のモデル（正半正定-PSDモデル）を活用し、誤差εで精度のi.i.dサンプルを得ることができる。求められるコストは、mはモデルの次元で、dは空間の次元であり、 ε に対するものである。提案された手法は、まず、SDEに関連するFokker-Planck方程式（またはその分数的変形）を満たすPSDモデルを計算し、次にそれからサンプリングすることから構成される。
-アルゴリズム：提案されたアルゴリズムは、(a) 準備段階で、解のL2距離がεのPSDモデルを誤差εで計算し、モデルの次元をm = ε^（-（d + 1）/（β-2s））（log（1/ε））^（d + 1）とし、合計計算の複雑さはO（m^ 3.5 log（1 / ε））である。さらに、（b）Fokker-Planck方程式に関して、ワッサースタイン1距離の誤差εでi.i.dサンプルを生成できる.これは、サンプルあたりO（d ε ^ -（2（d + 1））/（β-2）log（1/ε）^（2d + 3））のコストであることを意味する。
– 結果：SDEに関連する確率がある程度規則的であれば（つまり、β≥4d + 2）、アルゴリズムには準備段階でO（ε ^ – 0.88 log（1 / ε）^（4.5d））が必要であり、各サンプルにはO（ε ^ – 1/2log（1/ ε）^（2d + 2））が必要です。真の解がスムーズになるにつれて、凸性を必要とせずに次元の呪われた問題を回避できることを示唆している。

要約(オリジナル)

This paper deals with the problem of efficient sampling from a stochastic differential equation, given the drift function and the diffusion matrix. The proposed approach leverages a recent model for probabilities \citep{rudi2021psd} (the positive semi-definite — PSD model) from which it is possible to obtain independent and identically distributed (i.i.d.) samples at precision $\varepsilon$ with a cost that is $m^2 d \log(1/\varepsilon)$ where $m$ is the dimension of the model, $d$ the dimension of the space. The proposed approach consists in: first, computing the PSD model that satisfies the Fokker-Planck equation (or its fractional variant) associated with the SDE, up to error $\varepsilon$, and then sampling from the resulting PSD model. Assuming some regularity of the Fokker-Planck solution (i.e. $\beta$-times differentiability plus some geometric condition on its zeros) We obtain an algorithm that: (a) in the preparatory phase obtains a PSD model with L2 distance $\varepsilon$ from the solution of the equation, with a model of dimension $m = \varepsilon^{-(d+1)/(\beta-2s)} (\log(1/\varepsilon))^{d+1}$ where $0arxiv情報

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