Invariant preservation in machine learned PDE solvers via error correction

要約

機械学習による偏微分方程式 (PDE) ソルバーは、標準的な数値計算法の信頼性と引き換えに、精度や速度が向上する可能性があります。
ソルバーが正確な解を出力することを保証する唯一の方法は、グリッド間隔 $\Delta x$ と時間ステップ $\Delta t$ がゼロに近づくという制限で収束法を使用することです。
大規模な $\Delta x$ および/または $\Delta t$ でソリューションを更新することを学習する機械学習ソルバーは、完全な精度を保証することはできません。
ある程度のエラーは避けられないので、問題は次のようになります: 許容できるエラーの種類を与えるために、機械学習ソルバーをどのように制約するか?
この論文では、基礎となる偏微分方程式の連続不変量の離散類似物を保存することにより、より信頼性の高い機械学習偏微分方程式ソルバーを設計します。
このような不変量の例には、質量保存、エネルギー保存、熱力学の第 2 法則、および/または非負密度が含まれます。
私たちの重要な洞察は単純です。不変条件を維持するために、各タイムステップでエラー修正アルゴリズムを更新ルールに適用します。
この戦略は、標準的なソルバーが不変量を保持する方法とは異なりますが、機械学習ソルバーが大きな $\Delta x$ および/または $\Delta t$ で正確になるようにする柔軟性を保持する必要があります。
この戦略は、任意の境界条件を持つ任意のジオメトリの任意の時間依存偏微分方程式の任意の自己回帰ソルバーに適用できます。
この戦略は非常に一般的ですが、特定のエラー修正アルゴリズムは、基礎となる方程式の不変量だけでなく、解の表現とソルバーのタイム ステップ スキームに合わせて調整する必要があります。
ここで紹介する誤り訂正アルゴリズムには、2 つの重要な特性があります。
まず、正しい不変量を維持することにより、数値安定性が保証されます。
第 2 に、閉じたシステムまたは周期的なシステムでは、すでに正確なソルバーの精度を低下させることなく実行します。

要約(オリジナル)

Machine learned partial differential equation (PDE) solvers trade the reliability of standard numerical methods for potential gains in accuracy and/or speed. The only way for a solver to guarantee that it outputs the exact solution is to use a convergent method in the limit that the grid spacing $\Delta x$ and timestep $\Delta t$ approach zero. Machine learned solvers, which learn to update the solution at large $\Delta x$ and/or $\Delta t$, can never guarantee perfect accuracy. Some amount of error is inevitable, so the question becomes: how do we constrain machine learned solvers to give us the sorts of errors that we are willing to tolerate? In this paper, we design more reliable machine learned PDE solvers by preserving discrete analogues of the continuous invariants of the underlying PDE. Examples of such invariants include conservation of mass, conservation of energy, the second law of thermodynamics, and/or non-negative density. Our key insight is simple: to preserve invariants, at each timestep apply an error-correcting algorithm to the update rule. Though this strategy is different from how standard solvers preserve invariants, it is necessary to retain the flexibility that allows machine learned solvers to be accurate at large $\Delta x$ and/or $\Delta t$. This strategy can be applied to any autoregressive solver for any time-dependent PDE in arbitrary geometries with arbitrary boundary conditions. Although this strategy is very general, the specific error-correcting algorithms need to be tailored to the invariants of the underlying equations as well as to the solution representation and time-stepping scheme of the solver. The error-correcting algorithms we introduce have two key properties. First, by preserving the right invariants they guarantee numerical stability. Second, in closed or periodic systems they do so without degrading the accuracy of an already-accurate solver.

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