Diffusion Maps for Group-Invariant Manifolds

要約

この記事では、コンパクト リー群 $K$ の作用下でデータ セットが不変である場合の多様体学習問題を考えます。
私たちのアプローチは、既存のデータポイントの $K$ の作用の下で軌道を統合することにより、データ誘導グラフラプラシアンを拡張することから成ります。
この $K$ 不変ラプラシアン演算子 $L$ は、$K$ のユニタリ既約表現行列を使用して対角化できることを証明し、$L$ の固有値と固有ベクトルを計算する明示的な式を提供します。
さらに、正規化されたラプラシアン演算子 $L_N$ が改善された収束率でデータ多様体のラプラス-ベルトラミ演算子に収束することを示します。この改善は対称群 $K$ の次元とともに大きくなります。
この作業は、Landa と Shkolnisky の操作可能なグラフ ラプラシアン フレームワークを $\operatorname{SO}(2)$ の場合から任意のコンパクト リー群に拡張します。

要約(オリジナル)

In this article, we consider the manifold learning problem when the data set is invariant under the action of a compact Lie group $K$. Our approach consists in augmenting the data-induced graph Laplacian by integrating over orbits under the action of $K$ of the existing data points. We prove that this $K$-invariant Laplacian operator $L$ can be diagonalized by using the unitary irreducible representation matrices of $K$, and we provide an explicit formula for computing the eigenvalues and eigenvectors of $L$. Moreover, we show that the normalized Laplacian operator $L_N$ converges to the Laplace-Beltrami operator of the data manifold with an improved convergence rate, where the improvement grows with the dimension of the symmetry group $K$. This work extends the steerable graph Laplacian framework of Landa and Shkolnisky from the case of $\operatorname{SO}(2)$ to arbitrary compact Lie groups.

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