Theoretical Analyses of Multiobjective Evolutionary Algorithms on Multimodal Objectives

要約

MOEA の理論的理解は、実際の成功に大きく遅れをとっています。
特に、これまでの理論研究では、単一モードの目的で構成されるほとんどの簡単な問題が考慮されています。
進化的アルゴリズムがマルチモーダル多目的問題を解決する方法をより深く理解するための最初のステップとして、OJZJ 問題を提案します。これは、従来のジャンプ関数ベンチマークと同型の 2 つの目的で構成される双目的問題です。
実行時間に関係なく、確率 1 の SEMO が完全なパレート フロントを計算しないことを証明します。
対照的に、すべての問題サイズ $n$ およびすべてのジャンプ サイズ ${k \in [4..\frac n2 – 1]}$ に対して、グローバル SEMO (GSemo) は、期待される数の $\Theta でパレート フロントをカバーします。
((n-2k)n^{k})$ 回の反復。
$k = o(n)$ については、より厳密な境界 $\frac 32 e n^{k+1} \pm o(n^{k+1})$ も示しています。
低次項以外はタイトなMOEA。
また、GSEMO を、単一目的のマルチモーダル問題で利点を示した 2 つのアプローチと組み合わせます。
裾の重いミューテーション演算子で GSEMO を使用すると、予想される実行時間は少なくとも $k^{\Omega(k)}$ 倍向上します。
Rajabi と Witt (2022) の最近の停滞検出戦略を GSEMO に適応させると、予想実行時間も少なくとも $k^{\Omega(k)}$ 倍改善され、裾の重い GSEMO を
$k$ の小さな多項式係数。
実験的分析により、これらの漸近的な違いは、小さな問題サイズですでに目に見えることを示しています。重い尾を持つ突然変異による 5 倍の速度向上と、停滞検出による 10 倍の速度向上は、ジャンプで既に観察できます。
size~$4$ および問題のサイズは $10$ から $50$ です。
全体として、私たちの結果は、単一目的の進化的アルゴリズムが局所最適に対処するのを支援するために最近開発されたアイデアが、多目的最適化でも効果的に採用できることを示しています。

要約(オリジナル)

The theoretical understanding of MOEAs is lagging far behind their success in practice. In particular, previous theory work considers mostly easy problems that are composed of unimodal objectives. As a first step towards a deeper understanding of how evolutionary algorithms solve multimodal multiobjective problems, we propose the OJZJ problem, a bi-objective problem composed of two objectives isomorphic to the classic jump function benchmark. We prove that SEMO with probability one does not compute the full Pareto front, regardless of the runtime. In contrast, for all problem sizes $n$ and all jump sizes ${k \in [4..\frac n2 – 1]}$, the global SEMO (GSEMO) covers the Pareto front in an expected number of $\Theta((n-2k)n^{k})$ iterations. For $k = o(n)$, we also show the tighter bound $\frac 32 e n^{k+1} \pm o(n^{k+1})$, which might be the first runtime bound for an MOEA that is tight apart from lower-order terms. We also combine the GSEMO with two approaches that showed advantages in single-objective multimodal problems. When using the GSEMO with a heavy-tailed mutation operator, the expected runtime improves by a factor of at least $k^{\Omega(k)}$. When adapting the recent stagnation-detection strategy of Rajabi and Witt (2022) to the GSEMO, the expected runtime also improves by a factor of at least $k^{\Omega(k)}$ and surpasses the heavy-tailed GSEMO by a small polynomial factor in $k$. Via an experimental analysis, we show that these asymptotic differences are visible already for small problem sizes: A factor-$5$ speed-up from heavy-tailed mutation and a factor-$10$ speed-up from stagnation detection can be observed already for jump size~$4$ and problem sizes between $10$ and $50$. Overall, our results show that the ideas recently developed to aid single-objective evolutionary algorithms to cope with local optima can be effectively employed also in multiobjective optimization.

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