Dimensionality Collapse: Optimal Measurement Selection for Low-Error Infinite-Horizon Forecasting

要約

この作業では、遠い時空を予測するために最適化されたベクトル値の時系列の線形関数測定を選択する方法を紹介します。
予測のための Cram\'{e}r-Rao Lower bound (CRLB) の時間平均トレースをコストとする無限期間の問題として、逐次線形測定設計の問題を定式化して解くことにより、最も有益なデータを得ることができます。
最終的な予測アルゴリズムに関係なく収集されます。
自然指数族からの加法性ノイズ下での測定に関する理論的結果を導入することにより、局所的な次元削減を導き出すことができる同等の問題を構築します。
この代替定式化は、多くの微分方程式の制限動作に固有の次元の将来の崩壊に基づいており、予測のために CRLB の下位構造で直接観察できます。
近似の動的計画法の定式化と提案された代替案の両方の実装が、状態推定に拡張カルマン フィルターを使用して示され、リミット サイクルとカオス動作を備えたシミュレートされたシステムの結果は、崩壊する次元の数の関数として CRLB の線形改善を示しています。
システムの。

要約(オリジナル)

This work introduces a method to select linear functional measurements of a vector-valued time series optimized for forecasting distant time-horizons. By formulating and solving the problem of sequential linear measurement design as an infinite-horizon problem with the time-averaged trace of the Cram\'{e}r-Rao lower bound (CRLB) for forecasting as the cost, the most informative data can be collected irrespective of the eventual forecasting algorithm. By introducing theoretical results regarding measurements under additive noise from natural exponential families, we construct an equivalent problem from which a local dimensionality reduction can be derived. This alternative formulation is based on the future collapse of dimensionality inherent in the limiting behavior of many differential equations and can be directly observed in the low-rank structure of the CRLB for forecasting. Implementations of both an approximate dynamic programming formulation and the proposed alternative are illustrated using an extended Kalman filter for state estimation, with results on simulated systems with limit cycles and chaotic behavior demonstrating a linear improvement in the CRLB as a function of the number of collapsing dimensions of the system.

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