Closed-Loop Koopman Operator Approximation

要約

Koopman 演算子を使用すると、非線形システムを、状態ベクトルの代わりにリフティング関数の無限セットで表示することにより、無限次元線形システムとして書き換えることができます。
この表現の主な特徴はその線形性であり、既存の線形システム理論と互換性があります。
Koopman 演算子の有限次元近似は、リフティング関数の有限サブセットを選択してデータに適用し、リフティング空間で最小二乗問題を解くことによって、実験データから特定できます。
既存の Koopman 演算子近似法は、開ループ システムを識別するように設計されています。
ただし、フィードバック コントローラーを使用せずに一部のシステムで実験を実行することは、非現実的または不可能です。
残念ながら、フィードバック制御を導入すると、システムの入力と出力の間に相関関係が生じ、コントローラーが無視された場合、一部のプラント ダイナミクスを特定することが難しくなります。
このホワイト ペーパーでは、閉ループ システムの Koopman モデルを特定する方法を導入することで、この制限に対処し、次に、コントローラーの知識が与えられたプラントの Koopman モデルを抽出します。
これは、システムの Koopman 表現の線形性を活用することによって実現されます。
提案されたアプローチは、Koopman オペレーター識別法の適用範囲をより広いクラスのシステムに広げます。
提案された閉ループ Koopman 演算子近似法の有効性は、非線形振動を示すハーモニック ドライブ ギアボックスを使用して実験的に実証されます。

要約(オリジナル)

The Koopman operator allows a nonlinear system to be rewritten as an infinite-dimensional linear system by viewing it in terms of an infinite set of lifting functions instead of a state vector. The main feature of this representation is its linearity, making it compatible with existing linear systems theory. A finite-dimensional approximation of the Koopman operator can be identified from experimental data by choosing a finite subset of lifting functions, applying it to the data, and solving a least squares problem in the lifted space. Existing Koopman operator approximation methods are designed to identify open-loop systems. However, it is impractical or impossible to run experiments on some systems without a feedback controller. Unfortunately, the introduction of feedback control results in correlations between the system’s input and output, making some plant dynamics difficult to identify if the controller is neglected. This paper addresses this limitation by introducing a method to identify a Koopman model of the closed-loop system, and then extract a Koopman model of the plant given knowledge of the controller. This is accomplished by leveraging the linearity of the Koopman representation of the system. The proposed approach widens the applicability of Koopman operator identification methods to a broader class of systems. The effectiveness of the proposed closed-loop Koopman operator approximation method is demonstrated experimentally using a Harmonic Drive gearbox exhibiting nonlinear vibrations.

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