Physics-Embedded Neural Networks: Graph Neural PDE Solvers with Mixed Boundary Conditions

要約

グラフ ニューラル ネットワーク (GNN) は、境界条件を持つ偏微分方程式 (PDE) などの境界値問題で記述される物理現象を学習および予測するための有望なアプローチです。
しかし、既存のモデルは、そのような問題の信頼できる予測に不可欠な境界条件を適切に扱っていません。
また、GNN は局所的に接続されているため、頂点間の相互作用がグローバルになりがちな長時間経過後の状態を正確に予測することは困難です。
境界条件を考慮し、陰解法を使用して長時間経過後の状態を予測する、物理組み込み型ニューラル ネットワークと呼ばれるアプローチを紹介します。
E(n)-equivariant GNN に基づいて構築されているため、さまざまな形状で高い一般化パフォーマンスが得られます。
私たちのモデルが複雑な形状の流れ現象を学習し、速度と精度のトレードオフにおいて、最適化された古典的なソルバーと最先端の機械学習モデルよりも優れていることを示します。
したがって、私たちのモデルは、信頼性が高く、高速で正確な GNN ベースの PDE ソルバーを実現するための有用な標準となる可能性があります。
コードは https://github.com/yellowshippo/penn-neurips2022 で入手できます。

要約(オリジナル)

Graph neural network (GNN) is a promising approach to learning and predicting physical phenomena described in boundary value problems, such as partial differential equations (PDEs) with boundary conditions. However, existing models inadequately treat boundary conditions essential for the reliable prediction of such problems. In addition, because of the locally connected nature of GNNs, it is difficult to accurately predict the state after a long time, where interaction between vertices tends to be global. We present our approach termed physics-embedded neural networks that considers boundary conditions and predicts the state after a long time using an implicit method. It is built based on an E(n)-equivariant GNN, resulting in high generalization performance on various shapes. We demonstrate that our model learns flow phenomena in complex shapes and outperforms a well-optimized classical solver and a state-of-the-art machine learning model in speed-accuracy trade-off. Therefore, our model can be a useful standard for realizing reliable, fast, and accurate GNN-based PDE solvers. The code is available at https://github.com/yellowshippo/penn-neurips2022.

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