A Novel and Optimal Spectral Method for Permutation Synchronization

要約

順列同期は、多くのコンピューター ビジョン タスクの重要なステップを構成するコンピューター サイエンスの重要な問題です。
目標は、ノイズが多く不完全なペアワイズ測定から $n$ 潜在順列を回復することです。
近年、スペクトル法は、その単純さと計算効率のおかげで人気が高まっています。
スペクトル法は、データ行列の主要な固有空間 $U$ とそのブロック部分行列 $U_1、U_2、\ldots、U_n$ を利用して順列を復元します。
この論文では、新規で統計的に最適なスペクトルアルゴリズムを提案します。
$\{U_jU_1^\top\}_{j\geq 2}$ を使用する既存の方法とは異なり、私たちの方法は、すべてのブロック部分行列から有用な情報を集約してアンカー行列 $M$ を構築し、$\{
U_jM^\top\}_{j\geq 1}$.
この変更により、$U_1$ の繰り返し使用による既存のメソッドの重大な制限が克服され、数値パフォーマンスが向上します。
提案された方法の最適性を確立するために、きめの細かいスペクトル分析を実行し、ミニマックスレートに一致する鋭い指数関数的誤差限界を取得します。

要約(オリジナル)

Permutation synchronization is an important problem in computer science that constitutes the key step of many computer vision tasks. The goal is to recover $n$ latent permutations from their noisy and incomplete pairwise measurements. In recent years, spectral methods have gained increasing popularity thanks to their simplicity and computational efficiency. Spectral methods utilize the leading eigenspace $U$ of the data matrix and its block submatrices $U_1,U_2,\ldots, U_n$ to recover the permutations. In this paper, we propose a novel and statistically optimal spectral algorithm. Unlike the existing methods which use $\{U_jU_1^\top\}_{j\geq 2}$, ours constructs an anchor matrix $M$ by aggregating useful information from all the block submatrices and estimates the latent permutations through $\{U_jM^\top\}_{j\geq 1}$. This modification overcomes a crucial limitation of the existing methods caused by the repetitive use of $U_1$ and leads to an improved numerical performance. To establish the optimality of the proposed method, we carry out a fine-grained spectral analysis and obtain a sharp exponential error bound that matches the minimax rate.

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