The Maximum Linear Arrangement Problem for trees under projectivity and planarity

要約

線形配置は、グラフ $G$ の $n$ 頂点から $\pi$ を $n$ 個の連続した整数にマッピングすることです。
線形配置は、水平線に沿って頂点を描き、その線の上に半円としてエッジを描くことによって表すことができます。
この設定では、エッジの長さは配置における 2 つの頂点の位置の差の絶対値として定義され、配置のコストはすべてのエッジの長さの合計として定義されます。
ここでは、コストを最大化する配置を見つけることで構成される最大線形配置問題 (MaxLA) の 2 つのバリアントを調べます。
フリー ツリーの平面バリアントでは、エッジの交差がないように頂点を配置する必要があります。
根のある木の射影バリアントでは、配置は平面でなければならず、木の根はどの辺にも覆われてはなりません。
このホワイト ペーパーでは、ツリーの平面および射影 MaxLA を解くための、時間と空間で線形なアルゴリズムを紹介します。
また、最大射影および平面配置のいくつかのプロパティを証明し、キャタピラー ツリーが固定サイズのすべてのツリーで平面 MaxLA を最大化することにより、ツリーに対する以前の極値結果を一般化することを示します。

要約(オリジナル)

A linear arrangement is a mapping $\pi$ from the $n$ vertices of a graph $G$ to $n$ distinct consecutive integers. Linear arrangements can be represented by drawing the vertices along a horizontal line and drawing the edges as semicircles above said line. In this setting, the length of an edge is defined as the absolute value of the difference between the positions of its two vertices in the arrangement, and the cost of an arrangement as the sum of all edge lengths. Here we study two variants of the Maximum Linear Arrangement problem (MaxLA), which consists of finding an arrangement that maximizes the cost. In the planar variant for free trees, vertices have to be arranged in such a way that there are no edge crossings. In the projective variant for rooted trees, arrangements have to be planar and the root of the tree cannot be covered by any edge. In this paper we present algorithms that are linear in time and space to solve planar and projective MaxLA for trees. We also prove several properties of maximum projective and planar arrangements, and show that caterpillar trees maximize planar MaxLA over all trees of a fixed size thereby generalizing a previous extremal result on trees.

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