Variational Principles for Mirror Descent and Mirror Langevin Dynamics

要約

1970 年代に Nemirovski と Yudin によって導入された Mirror descent は、強い凸ポテンシャル関数を選択することで、目前の最適化問題のジオメトリに合わせて調整できる主双対凸最適化手法です。
これは、大規模な最適化、機械学習、制御など、さまざまなアプリケーションで基本的なプリミティブとして発生します。
この論文では、ミラー降下とその確率的バリアントであるミラー ランジュバン ダイナミクスの変分定式化を提案します。
勾配流の変分原理に関する Brezis と Ekeland の古典的な研究に触発された主なアイデアは、ミラー降下が特定の最適制御問題の閉ループ解として現れることを示すことであり、ベルマン値関数はブレグマンによって与えられます。
初期条件と目的関数の大域的最小化との間の発散。

要約(オリジナル)

Mirror descent, introduced by Nemirovski and Yudin in the 1970s, is a primal-dual convex optimization method that can be tailored to the geometry of the optimization problem at hand through the choice of a strongly convex potential function. It arises as a basic primitive in a variety of applications, including large-scale optimization, machine learning, and control. This paper proposes a variational formulation of mirror descent and of its stochastic variant, mirror Langevin dynamics. The main idea, inspired by the classic work of Brezis and Ekeland on variational principles for gradient flows, is to show that mirror descent emerges as a closed-loop solution for a certain optimal control problem, and the Bellman value function is given by the Bregman divergence between the initial condition and the global minimizer of the objective function.

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