The Complexity of Gradient Descent: CLS = PPAD $\cap$ PLS

要約

有界凸多領域に対してGradient Descentを行うことで解決できる探索問題を研究し、このクラスが2つのよく知られたクラスの交点に等しいことを示す。PPADとPLSである。主な技術的貢献として、領域$[0,1]^2$上の連続微分可能な関数のKarush-Kuhn-Tucker（KKT）点の計算がPPAD $cap$ PLS-completeであることを示している。これは、このクラスで初めて完全であることが示された非人工問題である。この結果は、DaskalakisとPapadimitriouがPPAD $cap$ PLSのより「自然な」対応として定義し、多くの興味深い問題を含むCLS (Continuous Local Search) クラスが、それ自体PPAD $cap$ PLSと同等であることを意味する。

要約(オリジナル)

We study search problems that can be solved by performing Gradient Descent on a bounded convex polytopal domain and show that this class is equal to the intersection of two well-known classes: PPAD and PLS. As our main underlying technical contribution, we show that computing a Karush-Kuhn-Tucker (KKT) point of a continuously differentiable function over the domain $[0,1]^2$ is PPAD $\cap$ PLS-complete. This is the first non-artificial problem to be shown complete for this class. Our results also imply that the class CLS (Continuous Local Search) – which was defined by Daskalakis and Papadimitriou as a more ‘natural’ counterpart to PPAD $\cap$ PLS and contains many interesting problems – is itself equal to PPAD $\cap$ PLS.

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