On the universality of $S_n$-equivariant $k$-body gates

要約

対称性の重要性は、単純なモットーから量子機械学習で最近認識されています。タスクが対称性を示す場合 (グループ $\mathfrak{G}$ によって与えられる)、学習モデルはその対称性を尊重する必要があります。
これは、$\mathfrak{G}$-equivariant Quantum Neural Networks (QNN)、つまり、$\mathfrak{G}$ の与えられた表現でコミューティングするオペレータによってゲートが生成されるパラメータ化された量子回路を介してインスタンス化できます。
ただし、実際には、使用できるゲートの種類に追加の制限がある場合があります。たとえば、最大 $k$ 量子ビットに作用できるなどです。
この作業では、対称群である $\mathfrak{G}=S_n$ の特殊なケースで、QNN ジェネレーターの対称性と $k$-bodyness の間の相互作用がその表現力にどのように影響するかを調べます。
私たちの結果は、QNN が 1 体および 2 体の $S_n$ 等価ゲートによって生成される場合、QNN は半普遍的ですが、普遍的ではないことを示しています。
つまり、QNN は、不変部分空間で任意の特別なユニタリ行列を生成できますが、それらの間の相対位相を制御することはできません。
次に、普遍性に達するためには、$n$-body ジェネレーター ($n$ が偶数の場合) または $(n-1)$-body ジェネレーター ($n$ が奇数の場合) を含める必要があることを示します。
このように、私たちの結果は、同変 QNN の機能と制限をよりよく理解するための一歩をもたらします。

要約(オリジナル)

The importance of symmetries has recently been recognized in quantum machine learning from the simple motto: if a task exhibits a symmetry (given by a group $\mathfrak{G}$), the learning model should respect said symmetry. This can be instantiated via $\mathfrak{G}$-equivariant Quantum Neural Networks (QNNs), i.e., parametrized quantum circuits whose gates are generated by operators commuting with a given representation of $\mathfrak{G}$. In practice, however, there might be additional restrictions to the types of gates one can use, such as being able to act on at most $k$ qubits. In this work we study how the interplay between symmetry and $k$-bodyness in the QNN generators affect its expressiveness for the special case of $\mathfrak{G}=S_n$, the symmetric group. Our results show that if the QNN is generated by one- and two-body $S_n$-equivariant gates, the QNN is semi-universal but not universal. That is, the QNN can generate any arbitrary special unitary matrix in the invariant subspaces, but has no control over the relative phases between them. Then, we show that in order to reach universality one needs to include $n$-body generators (if $n$ is even) or $(n-1)$-body generators (if $n$ is odd). As such, our results brings us a step closer to better understanding the capabilities and limitations of equivariant QNNs.

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