Machine Learned Calabi-Yau Metrics and Curvature

要約

Ricci-flat (Calabi-Yau) 計量を見つけることは、ひも理論と現象学に深い意味を持つ幾何学における長年の問題です。
この問題に対する新しい攻撃では、ニューラル ネットワークを使用して、特定のケーラー クラス内の Calabi-Yau メトリックへの近似を設計します。
この論文では、滑らかで特異な K3 曲面と Calabi-Yau の 3 つの折り畳みに関する数値 Ricci-flat メトリックを調査します。
これらの Ricci-flat 計量近似を使用して、4 次 2 フォールドの Cefal\’u ファミリと 5 次 3 フォールドの Dwork ファミリを使用して、これらのジオメトリの特徴的な形式を調べます。
数値的に計算されたトポロジー特性の数値安定性は、ニューラル ネットワーク モデルの選択に大きく影響されることがわかります。特に、カラビのトポロジー特性を正しく近似する別のニューラル ネットワーク モデル、つまりスペクトル ネットワークについて簡単に説明します。
ヤウ。
永続的な相同性を使用して、多様体の高曲率領域が特異点の近くにクラスターを形成することを示します。
ニューラル ネットワークの近似では、Bogomolov–Yau 型の不等式 $3c_2 \geq c_1^2$ を観察し、ジオメトリが $A_1​​$ 型の特異点を分離したときに恒等式を観察します。
$\chi(X~\smallsetminus~\mathrm{Sing}\,{X}) + 2~|\mathrm{Sing}\,{X}| という証明をスケッチします。
= 24$ は数値近似にも当てはまります。

要約(オリジナル)

Finding Ricci-flat (Calabi-Yau) metrics is a long standing problem in geometry with deep implications for string theory and phenomenology. A new attack on this problem uses neural networks to engineer approximations to the Calabi-Yau metric within a given K\’ahler class. In this paper we investigate numerical Ricci-flat metrics over smooth and singular K3 surfaces and Calabi-Yau threefolds. Using these Ricci-flat metric approximations for the Cefal\’u family of quartic twofolds and the Dwork family of quintic threefolds, we study characteristic forms on these geometries. We observe that the numerical stability of the numerically computed topological characteristic is heavily influenced by the choice of the neural network model, in particular, we briefly discuss a different neural network model, namely Spectral networks, which correctly approximate the topological characteristic of a Calabi-Yau. Using persistent homology, we show that high curvature regions of the manifolds form clusters near the singular points. For our neural network approximations, we observe a Bogomolov–Yau type inequality $3c_2 \geq c_1^2$ and observe an identity when our geometries have isolated $A_1$ type singularities. We sketch a proof that $\chi(X~\smallsetminus~\mathrm{Sing}\,{X}) + 2~|\mathrm{Sing}\,{X}| = 24$ also holds for our numerical approximations.

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