Runtime Analysis for Permutation-based Evolutionary Algorithms

要約

進化的アルゴリズム (EA) の理論的分析は、過去 25 年間で疑似ブール最適化問題に対して大きな進歩を遂げましたが、EA が順列ベースの問題をどのように解決するかについては、散発的な理論的結果しか存在しません。
順列ベースのベンチマークの問題の欠如を克服するために、古典的な疑似ブール値のベンチマークを順列のセットで定義されたベンチマークに変換する一般的な方法を提案します。
次に、LeadingOnes および Jump ベンチマークの類似物で、Scharnow、Tinnefeld、および Wegener (2004) によって提案された順列ベースの $(1+1)$ EA の厳密なランタイム分析を行います。
後者は、ビット列とは異なり、順列 $\sigma$ を別の $\tau$ に変更することがどれほど難しいかを決定するのはハミング距離だけでなく、$\sigma の正確なサイクル構造でもあることを示しています。
\tau^{-1}$.
このため、より対称的なスクランブル突然変異演算子も考慮します。
より単純な証明につながるだけでなく、ジャンプ サイズが奇数のジャンプ関数の実行時間を $\Theta(n)$ 分の 1 に短縮することがわかります。
最後に、ビット文字列の場合のように、スクランブル演算子の裾の重いバージョンが、ジャンプ サイズ $m のジャンプ関数で $m^{\Theta(m)}$ のオーダーの高速化につながることを示します。
$.
短い実証分析は、これらの調査結果を確認するだけでなく、void 変異率などの小さな実装の詳細が重要な違いを生む可能性があることも明らかにしています。

要約(オリジナル)

While the theoretical analysis of evolutionary algorithms (EAs) has made significant progress for pseudo-Boolean optimization problems in the last 25 years, only sporadic theoretical results exist on how EAs solve permutation-based problems. To overcome the lack of permutation-based benchmark problems, we propose a general way to transfer the classic pseudo-Boolean benchmarks into benchmarks defined on sets of permutations. We then conduct a rigorous runtime analysis of the permutation-based $(1+1)$ EA proposed by Scharnow, Tinnefeld, and Wegener (2004) on the analogues of the LeadingOnes and Jump benchmarks. The latter shows that, different from bit-strings, it is not only the Hamming distance that determines how difficult it is to mutate a permutation $\sigma$ into another one $\tau$, but also the precise cycle structure of $\sigma \tau^{-1}$. For this reason, we also regard the more symmetric scramble mutation operator. We observe that it not only leads to simpler proofs, but also reduces the runtime on jump functions with odd jump size by a factor of $\Theta(n)$. Finally, we show that a heavy-tailed version of the scramble operator, as in the bit-string case, leads to a speed-up of order $m^{\Theta(m)}$ on jump functions with jump size $m$. A short empirical analysis confirms these findings, but also reveals that small implementation details like the rate of void mutations can make an important difference.

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