Computing linear sections of varieties: quantum entanglement, tensor decompositions and beyond

要約

$\mathbb{F}^n$ の任意の円錐多様体と与えられた線形部分空間 ($\mathbb{F}$ は実体または複素体) の交点で要素を見つける問題を研究します。
この問題は、さまざまな選択肢の下でのアルゴリズムの問​​題の豊富なファミリーを捉えています。
ランク 1 の行列で構成される特殊なケースは、量子情報理論やテンソル分解など、さまざまな分野の中心的な問題とすでに強い関連性があります。
この問題は、さまざまなランク 1 行列であっても、最悪の場合は NP 困難であることが知られています。
驚くべきことに、これらの硬度の結果にもかかわらず、「典型的な」部分空間についてこの問題を解決する効率的なアルゴリズムを提供しています。
ここで、サブスペース $U \subseteq \mathbb{F}^n$ は、特定の次元の一般的に選択され、潜在的にそこに含まれるさまざまな一般的な要素が含まれます。
私たちの主なアルゴリズムの結果は、多様体に関するいくつかの軽度の非縮退仮定の下で、多様体にある $U$ のすべての要素を回復する多項式時間アルゴリズムです。
結果として、次の結果が得られます: $\bullet$ 一意性の結果と、テンソル分解を超える広範なクラスの低ランク分解問題の一般的なインスタンスの多項式時間アルゴリズム。
ここで、$\sum_{i=1}^R v_i \otimes w_i$ の形式の分解を復元します。ここで、$v_i$ は、与えられた変数 $X$ の要素です。
これは、テンソル分解の特殊なケースでも、新しいアルゴリズムの結果を意味します。
$\bullet$ $r$-エンタングルメント、完全なエンタングルメント、および部分空間の真のエンタングルメントの決定を含む、量子エンタングルメントにおけるいくつかのエンタングルされた部分空間の問題に対する多項式時間アルゴリズム。
最悪の場合、これらの問題はすべて NP 困難ですが、私たちのアルゴリズムは、可能な最大値の定数倍までの次元の一般的な部分空間に対して多項式時間で解決します。

要約(オリジナル)

We study the problem of finding elements in the intersection of an arbitrary conic variety in $\mathbb{F}^n$ with a given linear subspace (where $\mathbb{F}$ can be the real or complex field). This problem captures a rich family of algorithmic problems under different choices of the variety. The special case of the variety consisting of rank-1 matrices already has strong connections to central problems in different areas like quantum information theory and tensor decompositions. This problem is known to be NP-hard in the worst-case, even for the variety of rank-1 matrices. Surprisingly, despite these hardness results we give efficient algorithms that solve this problem for ‘typical’ subspaces. Here, the subspace $U \subseteq \mathbb{F}^n$ is chosen generically of a certain dimension, potentially with some generic elements of the variety contained in it. Our main algorithmic result is a polynomial time algorithm that recovers all the elements of $U$ that lie in the variety, under some mild non-degeneracy assumptions on the variety. As corollaries, we obtain the following results: $\bullet$ Uniqueness results and polynomial time algorithms for generic instances of a broad class of low-rank decomposition problems that go beyond tensor decompositions. Here, we recover a decomposition of the form $\sum_{i=1}^R v_i \otimes w_i$, where the $v_i$ are elements of the given variety $X$. This implies new algorithmic results even in the special case of tensor decompositions. $\bullet$ Polynomial time algorithms for several entangled subspaces problems in quantum entanglement, including determining $r$-entanglement, complete entanglement, and genuine entanglement of a subspace. While all of these problems are NP-hard in the worst case, our algorithm solves them in polynomial time for generic subspaces of dimension up to a constant multiple of the maximum possible.

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