An Implicit GNN Solver for Poisson-like problems

要約

この論文では、$\Psi$-GNN を紹介します。これは、境界条件が混在するユビキタスなポアソン PDE 問題を解くための新しいグラフ ニューラル ネットワーク (GNN) アプローチです。
$\Psi$-GNN は暗黙の層理論を活用することで、「無限に」深いネットワークをモデル化し、ソリューションを達成するために必要なメッセージ パッシング層の数を経験的に調整する必要がなくなります。
その元のアーキテクチャは、物理アプリケーションの重要な前提条件である境界条件を明示的に考慮しており、最初に提供されたソリューションに適応できます。
$\Psi$-GNN は「物理学に基づく」損失を使用してトレーニングされ、トレーニング プロセスは設計上安定しており、初期化の影響を受けません。
さらに、このアプローチの一貫性は理論的に証明されており、その柔軟性と一般化の効率は実験的に実証されています。同じ学習済みモデルで、さまざまなサイズの非構造化メッシュやさまざまな境界条件を正確に処理できます。
私たちの知る限りでは、$\Psi$-GNN は、さまざまな非構造領域、境界条件、および初期解を処理しながら、収束の保証も提供できる、物理学に基づいた最初の GNN ベースの方法です。

要約(オリジナル)

This paper presents $\Psi$-GNN, a novel Graph Neural Network (GNN) approach for solving the ubiquitous Poisson PDE problems with mixed boundary conditions. By leveraging the Implicit Layer Theory, $\Psi$-GNN models an ”infinitely” deep network, thus avoiding the empirical tuning of the number of required Message Passing layers to attain the solution. Its original architecture explicitly takes into account the boundary conditions, a critical prerequisite for physical applications, and is able to adapt to any initially provided solution. $\Psi$-GNN is trained using a ”physics-informed” loss, and the training process is stable by design, and insensitive to its initialization. Furthermore, the consistency of the approach is theoretically proven, and its flexibility and generalization efficiency are experimentally demonstrated: the same learned model can accurately handle unstructured meshes of various sizes, as well as different boundary conditions. To the best of our knowledge, $\Psi$-GNN is the first physics-informed GNN-based method that can handle various unstructured domains, boundary conditions and initial solutions while also providing convergence guarantees.

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