nSimplex Zen: A Novel Dimensionality Reduction for Euclidean and Hilbert Spaces

要約

次元削減手法は、高次元空間から低次元の空間に値をマッピングします。
その結果、必要な物理メモリが少なくなり、距離計算が高速なスペースが得られます。
これらの技法は、縮小次元空間の必要な特性が元の空間に関して許容可能な精度を与える場合に広く使用されます。
多くのそのような変換が説明されています。
それらは、線形とトポロジカルの 2 つの主要なグループに分類されています。
主成分分析 (PCA) やランダム射影 (RP) などの線形手法は、行列ベースの変換をユークリッド空間の低次元に定義します。
多次元尺度法 (MDS) などのトポロジー手法は、最近傍関係などの高レベルの側面を維持しようと試み、一部は非ユークリッド空間に適用される場合があります。
ここでは、次元削減の新しいトポロジカル手法である nSimplex Zen を紹介します。
MDS と同様に、元の空間で測定されたペアごとの距離のみに依存します。
座標ではなく距離を使用することで、この手法をユークリッド空間と他のヒルベルト空間の両方に適用できます。これには、コサイン、ジェンセン シャノン、および二次形式の距離によって支配されるものも含まれます。
ほとんどの場合、高次元空間の幾何学的特性により、特に非常に低い次元への縮小により、新しい手法が他の手法よりも優れた特性を与えることを示します。

要約(オリジナル)

Dimensionality reduction techniques map values from a high dimensional space to one with a lower dimension. The result is a space which requires less physical memory and has a faster distance calculation. These techniques are widely used where required properties of the reduced-dimension space give an acceptable accuracy with respect to the original space. Many such transforms have been described. They have been classified in two main groups: linear and topological. Linear methods such as Principal Component Analysis (PCA) and Random Projection (RP) define matrix-based transforms into a lower dimension of Euclidean space. Topological methods such as Multidimensional Scaling (MDS) attempt to preserve higher-level aspects such as the nearest-neighbour relation, and some may be applied to non-Euclidean spaces. Here, we introduce nSimplex Zen, a novel topological method of reducing dimensionality. Like MDS, it relies only upon pairwise distances measured in the original space. The use of distances, rather than coordinates, allows the technique to be applied to both Euclidean and other Hilbert spaces, including those governed by Cosine, Jensen-Shannon and Quadratic Form distances. We show that in almost all cases, due to geometric properties of high-dimensional spaces, our new technique gives better properties than others, especially with reduction to very low dimensions.

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