Collocation methods for second and higher order systems

要約

コロケーション手法を使用する一般的な方法が、ロボット工学の最適制御に適用されると根本的に欠陥があることに気付かないことがよくあります。
このような方法では、システム ダイナミクスが 1 次 ODE によって与えられると仮定しますが、ロボットは多くの場合、構成変数とその時間導関数を含む 2 次以上の ODE によって支配されます。
したがって、選点法を適用するには、通常、M 次 ODE を M 個の 1 次 ODE にキャストする、よく知られた手順に頼ります。
この操作は、連続領域では完全に有効ですが、問題が離散化されると矛盾が生じます。
構成変数とその時間導関数は同程度の多項式で近似されるため、それらの微分依存関係を満たすことができず、選点でも実際のダイナミクスは満たされません。
この論文では、この問題に注目し、これらの不一致を示さない台形および Hermite-Simpson 選点法の改良版を開発しています。
多くの場合、新しい方法は、ソリューションの計算コストを著しく増加させることなく、動的転記エラーを 1 桁またはそれ以上削減します。

要約(オリジナル)

It is often unnoticed that the predominant way to use collocation methods is fundamentally flawed when applied to optimal control in robotics. Such methods assume that the system dynamics is given by a first order ODE, whereas robots are often governed by a second or higher order ODE involving configuration variables and their time derivatives. To apply a collocation method, therefore, the usual practice is to resort to the well known procedure of casting an M th order ODE into M first order ones. This manipulation, which in the continuous domain is perfectly valid, leads to inconsistencies when the problem is discretized. Since the configuration variables and their time derivatives are approximated with polynomials of the same degree, their differential dependencies cannot be fulfilled, and the actual dynamics is not satisfied, not even at the collocation points. This paper draws attention to this problem, and develops improved versions of the trapezoidal and Hermite-Simpson collocation methods that do not present these inconsistencies. In many cases, the new methods reduce the dynamic transcription error in one order of magnitude, or even more, without noticeably increasing the cost of computing the solutions.

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