Learning-based solutions to nonlinear hyperbolic PDEs: Empirical insights on generalization errors

要約

非線形双曲偏微分方程式 (H-PDE) の解の不連続性のために学習が困難であった弱解の学習を研究しています。
物理学に基づいたフーリエ ニューラル オペレーター ($\pi$-FNO) を使用して、弱い解を学習します。
$\pi$-FNO ソルバーの一般化/サンプル外エラーを、入力の複雑さ、つまり初期条件と境界条件の分布の関数として経験的に定量化します。
私たちのテスト結果は、$\pi$-FNO が目に見えない初期条件と境界条件によく一般化することを示しています。
汎化誤差は、入力の複雑さに比例して増加することがわかりました。
さらに、物理学に基づいた正則化を追加すると、解の不連続性の予測が改善されました。
結果を説明するための指針となる例として、Lighthill-Witham-Richards (LWR) トラフィック フロー モデルを使用します。

要約(オリジナル)

We study learning weak solutions to nonlinear hyperbolic partial differential equations (H-PDE), which have been difficult to learn due to discontinuities in their solutions. We use a physics-informed variant of the Fourier Neural Operator ($\pi$-FNO) to learn the weak solutions. We empirically quantify the generalization/out-of-sample error of the $\pi$-FNO solver as a function of input complexity, i.e., the distributions of initial and boundary conditions. Our testing results show that $\pi$-FNO generalizes well to unseen initial and boundary conditions. We find that the generalization error grows linearly with input complexity. Further, adding a physics-informed regularizer improved the prediction of discontinuities in the solution. We use the Lighthill-Witham-Richards (LWR) traffic flow model as a guiding example to illustrate the results.

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