Geometric Clifford Algebra Networks

要約

幾何 (クリフォード) 代数を使用した対称群変換に基づく幾何クリフォード代数ネットワーク (GCAN) を提案します。
GCAN は、動的システムでよく見られる幾何学的変換の表現と操作に特に適しています。
最初に、$\mathrm{Pin}(p,q,r)$ グループの要素としてエンコードされた等長線に基づいて構築された、現代の (平面ベースの) 幾何代数の真髄を確認します。
次に、グループ アクション レイヤーの概念を提案します。グループ アクション レイヤーは、事前に指定されたグループ アクションを使用してオブジェクトの変換を線形に組み合わせます。
新しいアクティベーションと正規化スキームとともに、これらのレイヤーは、勾配降下によって洗練できる調整可能な幾何学的テンプレートとして機能します。
理論上の利点は、3 次元の剛体変換のモデリングや大規模な流体力学シミュレーションに強く反映されており、従来の方法よりもパフォーマンスが大幅に向上しています。

要約(オリジナル)

We propose Geometric Clifford Algebra Networks (GCANs) that are based on symmetry group transformations using geometric (Clifford) algebras. GCANs are particularly well-suited for representing and manipulating geometric transformations, often found in dynamical systems. We first review the quintessence of modern (plane-based) geometric algebra, which builds on isometries encoded as elements of the $\mathrm{Pin}(p,q,r)$ group. We then propose the concept of group action layers, which linearly combine object transformations using pre-specified group actions. Together with a new activation and normalization scheme, these layers serve as adjustable geometric templates that can be refined via gradient descent. Theoretical advantages are strongly reflected in the modeling of three-dimensional rigid body transformations as well as large-scale fluid dynamics simulations, showing significantly improved performance over traditional methods.

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