Relative-Interior Solution for (Incomplete) Linear Assignment Problem with Applications to Quadratic Assignment Problem

要約

線形割り当て問題 (LAP) の双対線形計画法定式化の最適解の集合を研究し、この集合の相対内部から解を計算する方法を提案します。
任意の二重最適解と最適割り当てが利用可能であると仮定すると (多くの効率的なアルゴリズムが既に存在します)、この方法は線形時間で相対内部解を計算します。
LAP は二次代入問題 (QAP) の線形計画法緩和の部分問題として発生するため、QAP の最適値の境界を提供するデュアル アセント アルゴリズムのファミリーの新しいコンポーネントとしてこの方法を採用します。
実際のユースケースで興味深い不完全な QAP に結果を適用できるようにするために、不完全な LAP から完全な LAP への線形時間削減と、相対的な内部の最適性とメンバーシップを維持するマッピングも提供します。
公開されているベンチマークに関する私たちの実験は、相対内部解を使用した私たちのアプローチがしばしば優れた境界を提供することができ、それ以外は少なくとも同等であることを示しています。

要約(オリジナル)

We study the set of optimal solutions of the dual linear programming formulation of the linear assignment problem (LAP) to propose a method for computing a solution from the relative interior of this set. Assuming that an arbitrary dual-optimal solution and an optimal assignment are available (for which many efficient algorithms already exist), our method computes a relative-interior solution in linear time. Since LAP occurs as a subproblem in the linear programming relaxation of quadratic assignment problem (QAP), we employ our method as a new component in the family of dual-ascent algorithms that provide bounds on the optimal value of QAP. To make our results applicable to incomplete QAP, which is of interest in practical use-cases, we also provide a linear-time reduction from incomplete LAP to complete LAP along with a mapping that preserves optimality and membership in the relative interior. Our experiments on publicly available benchmarks indicate that our approach with relative-interior solution is frequently capable of providing superior bounds and otherwise is at least comparable.

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