Discrete Morse Sandwich: Fast Computation of Persistence Diagrams for Scalar Data — An Algorithm and A Benchmark

要約

この論文では、$d\leq 3$ をもつ $d$ 次元の単体複素数 $K$ で定義された入力区分的線形スカラー フィールド $f$ が与えられた場合の、持続性ダイアグラムの計算のための効率的なアルゴリズムを紹介します。
私たちの仕事は、離散モース理論 (DMT) [34]、[80] を使用して独創的なアルゴリズム ‘PairSimplices’ [31]、[103] を再検討し、考慮すべき入力シンプリックスの数を大幅に減らします。
さらに、DMT にも拡張し、$D_0(f)$ と記された $0^{th}$ および $(d – 1)^{th}$ ダイアグラムの高速計算のために「PairSimplices」で説明されている層化戦略を加速します。
および $D_{d-1}(f)$。
最小サドル持続性ペア ($D_0(f)$) とサドル最大持続性ペ​​ア ($D_{d-1}(f)$) は、$1$ の不安定なセットを Union-Find で処理することによって効率的に計算されます。
-サドルと $(d – 1)$-サドルの安定セット。
次元 $0$ および $(d – 1)$ のこの高速な事前計算により、[4] の 3D ケースへの積極的な特殊化が可能になり、その結果、$D_1(
f)$、サンドイッチの中間層。
最後に、共有メモリの並列処理によるいくつかのパフォーマンスの向上について説明します。
再現性を目的として、アルゴリズムのオープンソース実装を提供しています。
また、パブリック リポジトリの 3 次元データを活用し、公開されているさまざまな実装とアルゴリズムを比較する、再現可能なベンチマーク パッケージも提供しています。
大規模な実験により、私たちのアルゴリズムは、それが拡張する独創的な ‘PairSimplices’ アルゴリズムの時間パフォーマンスを 2 桁改善することが示されています。
さらに、厳密に同一の出力を生成しながら、14 の競合するアプローチの選択よりもメモリ フットプリントと時間のパフォーマンスが向上し、利用可能な最速のアプローチよりも大幅に向上します。

要約(オリジナル)

This paper introduces an efficient algorithm for persistence diagram computation, given an input piecewise linear scalar field $f$ defined on a $d$-dimensional simplicial complex $K$, with $d \leq 3$. Our work revisits the seminal algorithm ‘PairSimplices’ [31], [103] with discrete Morse theory (DMT) [34], [80], which greatly reduces the number of input simplices to consider. Further, we also extend to DMT and accelerate the stratification strategy described in ‘PairSimplices’ for the fast computation of the $0^{th}$ and $(d – 1)^{th}$ diagrams, noted $D_0(f)$ and $D_{d-1}(f)$. Minima-saddle persistence pairs ($D_0(f)$) and saddle-maximum persistence pairs ($D_{d-1}(f)$) are efficiently computed by processing, with a Union-Find, the unstable sets of $1$-saddles and the stable sets of $(d – 1)$-saddles. This fast pre-computation for the dimensions $0$ and $(d – 1)$ enables an aggressive specialization of [4] to the 3D case, which results in a drastic reduction of the number of input simplices for the computation of $D_1(f)$, the intermediate layer of the sandwich. Finally, we document several performance improvements via shared-memory parallelism. We provide an open-source implementation of our algorithm for reproducibility purposes. We also contribute a reproducible benchmark package, which exploits three-dimensional data from a public repository and compares our algorithm to a variety of publicly available implementations. Extensive experiments indicate that our algorithm improves by two orders of magnitude the time performance of the seminal ‘PairSimplices’ algorithm it extends. Moreover, it also improves memory footprint and time performance over a selection of 14 competing approaches, with a substantial gain over the fastest available approaches, while producing a strictly identical output.

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