Shape Proportions and Sphericity in n Dimensions

要約

高次元のオブジェクトのシェイプ メトリックはまばらなままです。
ハイパー ボリュームなど、実際に存在するものは、プラトン立体や $n$-Cubes などのよりよく理解されているオブジェクトに限定されたままです。
さらに、高次元で不明確な形状のオブジェクトを理解することは、せいぜいあいまいです。
過去の研究では、オブジェクトを定性的に理解するための単一の数値は提供されていません。
たとえば、主成分分析の固有値は、オブジェクトの形状を表す $n$ メトリックになります。
したがって、形状の異なるオブジェクトを区別できる単一の数値が必要です。
以前の研究では、2 次元または 3 次元などの特定の次元の形状メトリックが開発されました。
ただし、任意のディメンションのメトリックを開発する機会があります。
そのために、指定された数の次元でオブジェクトの 2 つの新しい形状メトリックを提示します。超球状度とハイパー形状プロポーション (SP) です。
$n$ ボールを含むさまざまな形状で、これらのメトリックの妥当性を調べます。
次に、これらのメトリックを、人気のある Iris データセットなどの多次元データの形状を分析するアプリケーションに接続します。

要約(オリジナル)

Shape metrics for objects in high dimensions remain sparse. Those that do exist, such as hyper-volume, remain limited to objects that are better understood such as Platonic solids and $n$-Cubes. Further, understanding objects of ill-defined shapes in higher dimensions is ambiguous at best. Past work does not provide a single number to give a qualitative understanding of an object. For example, the eigenvalues from principal component analysis results in $n$ metrics to describe the shape of an object. Therefore, we need a single number which can discriminate objects with different shape from one another. Previous work has developed shape metrics for specific dimensions such as two or three dimensions. However, there is an opportunity to develop metrics for any desired dimension. To that end, we present two new shape metrics for objects in a given number of dimensions: hyper-Sphericity and hyper-Shape Proportion (SP). We explore the proprieties of these metrics on a number of different shapes including $n$-balls. We then connect these metrics to applications of analyzing the shape of multidimensional data such as the popular Iris dataset.

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