A note on the variation of geometric functionals

要約

画像処理とコンピュータビジョンの問題をモデル化して解決するツールとしての微分幾何学と組み合わせた変分法は、80年代後半から20世紀の90年代に導入されました。
これらの方向での大規模な作業の始まりは、測地線アクティブコンター（GAC）、ベルトラミフレームワーク、Osherのレベルセット法、Charpiatetal。のSethianなどの作業によって特徴づけられました。
ほんの数例を挙げると、ChanとVeseの作品です。
多くの場合、これらの関数の最適化は、オイラー・ラグランジュ方程式の計算による最急降下法によって行われます。
結果として得られたEL方程式を最急降下法で直接使用すると、非幾何学的な方程式になり、場合によっては無意味な方程式になります。
幾何学的および/または官能的な方程式を得るために、これらのEL方程式または関数自体を修正することは必要です。
このノートの目的は、結果として得られる勾配降下方程式が幾何学的で意味のあるものになるように、ELと勾配降下方程式を導出する正しい方法を示すことです。

要約(オリジナル)

Calculus of Variation combined with Differential Geometry as tools of modelling and solving problems in image processing and computer vision were introduced in the late 80’s and the 90s of the 20th century. The beginning of an extensive work in these directions was marked by works such as Geodesic Active Contours (GAC), the Beltrami framework, level set method of Osher and Sethian the works of Charpiat et al. and the works by Chan and Vese to name just a few. In many cases the optimization of these functional are done by the gradient descent method via the calculation of the Euler-Lagrange equations. Straightforward use of the resulted EL equations in the gradient descent scheme leads to non-geometric and in some cases non sensical equations. It is costumary to modify these EL equations or even the functional itself in order to obtain geometric and/or sensical equations. The aim of this note is to point to the correct way to derive the EL and the gradient descent equations such that the resulted gradient descent equation is geometric and makes sense.

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