Symmetrized Robust Procrustes: Constant-Factor Approximation and Exact Recovery

要約

古典的な$\textit {Procrustes} $の問題は、最小二乗の意味で2つの与えられた点集合を最もよく整列させる剛体運動（直交変換と平行移動）を見つけることです。
$ \ textit {Robust Procrustes} $問題は重要な変形であり、外れ値に対するロバスト性を向上させるために、最小二乗法の代わりに1乗の目的が使用されます。
最小二乗問題の最適解は、Sch \’onemann（1966）にまでさかのぼって、閉じた形で簡単に計算できますが、1乗問題のそのような解は知られていません。
この論文では、ロバストプロクラステス問題のための新しい凸状緩和を提案します。
私たちのリラクゼーションには、いくつかの理論的および実用的な利点があります。理論的には、この方法がロバストプロクラステス問題の$ \ sqrt {2} $因子近似を提供し、適切な仮定の下で、ポイントから真の剛体運動を正確に回復することを証明します。
外れ値によって汚染された通信。
実際には、合成および実際のロバストなプロクラステス問題の両方に関する数値実験で、私たちの方法が標準の反復再重み付け最小二乗（IRLS）と同様に機能することがわかりました。
しかし、私たちのアルゴリズムの凸性は、IRLSに容易に従わない追加の凸状ペナルティを組み込むことを可能にします。
これは実質的な利点であることが判明し、非剛体形状の位置合わせや半教師あり言語間翻訳など、高次元の問題の結果が改善されます。

要約(オリジナル)

The classical $\textit{Procrustes}$ problem is to find a rigid motion (orthogonal transformation and translation) that best aligns two given point-sets in the least-squares sense. The $\textit{Robust Procrustes}$ problem is an important variant, in which a power-1 objective is used instead of least squares to improve robustness to outliers. While the optimal solution of the least-squares problem can be easily computed in closed form, dating back to Sch\’onemann (1966), no such solution is known for the power-1 problem. In this paper we propose a novel convex relaxation for the Robust Procrustes problem. Our relaxation enjoys several theoretical and practical advantages: Theoretically, we prove that our method provides a $\sqrt{2}$-factor approximation to the Robust Procrustes problem, and that, under appropriate assumptions, it exactly recovers the true rigid motion from point correspondences contaminated by outliers. In practice, we find in numerical experiments on both synthetic and real robust Procrustes problems, that our method performs similarly to the standard Iteratively Reweighted Least Squares (IRLS). However the convexity of our algorithm allows incorporating additional convex penalties, which are not readily amenable to IRLS. This turns out to be a substantial advantage, leading to improved results in high-dimensional problems, including non-rigid shape alignment and semi-supervised interlingual word translation.

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